Правила вычисления пределов Если lim f(x) = b и lim g(x) =c, то x 1) Предел суммы равен сумме пределов: lim (f(x)+ g(x)) = lim f(x)+ lim g(x) = b+ c x x x 2) Предел произведения равен произведению пределов: lim f(x)·g(x) = lim f(x) * lim g(x) = b·c x x x 3) Предел частного равен частному пределов: lim f(х):g(x) = lim f(x) : lim g(x)= b:c x x x 4) Постоянный множитель можно вынести за знак предела: lim k· f(x) = k · lim f(x)= k b x x

План конспекта Графики функций y=1/x и y=1/x 2. Графики функций y=1/x m, для m четных и нечетных. Понятие горизонтальной асимптоты. Понятия предела функции на +, -,. Геометрический смысл предела функции на +, -,. Правила вычисления пределов функции на. Формулы вычисления предела функции на. Приемы вычисления пределов функции на.

Итог урока Что означает существование предела функции на бесконечности? Какую асимптоту имеет функция y=1/ x 4 ? Какие вы знаете правила для вычисления пределов функции на бесконечности? С какими формулами вычисления пределов на бесконечности вы познакомились? Как найти lim (5-3x 3) / (6x 3 +2)? x

Использованная литература: - А.Г.Мордкович. Алгебра и начала математического анализа классы. Мнемозина.М А.Г.Мордкович., П.В.Семенов. Методическое пособие для учителя. Алгебра и начала математического анализа класс. Базовый уровень. М.Мнемозина. 2010

План I Понятие предела функции II Геометрический смысл предела III Бесконечно малые и большие функции и их свойства IV Вычисления пределов: 1) Некоторые наиболее употребительные пределы; 2) Пределы непрерывных функций; 3) Пределы сложных функций; 4) Неопределенности и методы их решений

0 можно указать δ- окрестность точки а на оси Ох,такую что для всех х из этой окрестности кроме х=а, соответствующее значение y лежат в ε- окрестности точки b Математическая запись: При |x-a|" title="Геометрический смысл предела Определение: Для любого ε>0 можно указать δ- окрестность точки а на оси Ох,такую что для всех х из этой окрестности кроме х=а, соответствующее значение y лежат в ε- окрестности точки b Математическая запись: При |x-a|" class="link_thumb"> 4 Геометрический смысл предела Определение: Для любого ε>0 можно указать δ- окрестность точки а на оси Ох,такую что для всех х из этой окрестности кроме х=а, соответствующее значение y лежат в ε- окрестности точки b Математическая запись: При |x-a| 0 можно указать δ- окрестность точки а на оси Ох,такую что для всех х из этой окрестности кроме х=а, соответствующее значение y лежат в ε- окрестности точки b Математическая запись: При |x-a|"> 0 можно указать δ- окрестность точки а на оси Ох,такую что для всех х из этой окрестности кроме х=а, соответствующее значение y лежат в ε- окрестности точки b Математическая запись: При |x-a|"> 0 можно указать δ- окрестность точки а на оси Ох,такую что для всех х из этой окрестности кроме х=а, соответствующее значение y лежат в ε- окрестности точки b Математическая запись: При |x-a|" title="Геометрический смысл предела Определение: Для любого ε>0 можно указать δ- окрестность точки а на оси Ох,такую что для всех х из этой окрестности кроме х=а, соответствующее значение y лежат в ε- окрестности точки b Математическая запись: При |x-a|"> title="Геометрический смысл предела Определение: Для любого ε>0 можно указать δ- окрестность точки а на оси Ох,такую что для всех х из этой окрестности кроме х=а, соответствующее значение y лежат в ε- окрестности точки b Математическая запись: При |x-a|">

Основные теоремы о пределах Теорема 1: Для того, чтобы число А было пределом функции f(x) при, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представлена в виде, где - бесконечно малая. Следствие 1: Функция не может в одной точке иметь 2 различных предела. Теорема 2: Предел постоянной величины равен самой постоянной Теорема 3: Если функция для всех x в некоторой окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a, и в точке a имеет предел, то

Основные теоремы о пределах (продолжение) Теорема 4: Если функция f 1 (x) и f 2 (x) имеют приделы при, то при, имеет пределы также их сумма f 1 (x)+f 2 (x), произведение f 1 (x)*f 2 (x), и при условии частное f 1 (x)/f 2 (x), причем Следствие 2: Если функция f(x) имеет предел при, то,где n – натуральное число. Следствие 3: Постоянный множитель можно выносить за знак предела

Презентация «Предел функции» - наглядное пособие, помогающее в изучении материала по данной теме по алгебре. Пособие содержит подробное понятное описание теоретического материала, раскрывающего понятие предела функции, его графического представления, правил вычисления предела функции, связи свойств функции с ее пределом. Все теоретические основы, изложенные в презентации, по ходу демонстрации подкрепляются описанием решения соответствующих заданий.

Представление материала в форме презентации дает возможность подать изучаемые понятия более удобно для понимания. Использовать эффективные инструменты для запоминания материала.

Презентация начинается с напоминания вида функциональной зависимости y=f(n), nϵN. Раскрывается смысл предела функции при построении графика этой функции. Отмечается, что равенство limf(n)=bпри n→∞ означает, что прямая у=b, проведенная на координатной плоскости, представляет собой горизонтальную асимптоту, к которой стремится график функции при n→∞. На втором слайде на координатной плоскости изображен график функции y=f(х), область определения которого лежит на промежутке D(f)=. При наличии горизонтальной асимптоты у=b в области определения функция стремится к значению предела limf(х)=b при х→-∞. Приближение функции к асимптоте продемонстрировано на соответствующем рисунке, представленном на слайде.

На слайде 4 описывается случай приближения графика функции к горизонтальной асимптоте при стремлении ее аргумента и к +∞, и к -∞. Это означает одновременное выполнение условий limf(х)=b при х→-∞ и limf(х)=b при х→+∞. Иначе можно записать limf(х)=b при х→∞. На рисунке продемонстрирован пример такой функции и поведения ее графика на координатной плоскости.

Далее демонстрируются правила вычисления предела функции. В свойстве 1 отмечается, что для функции k/x m при натуральном m верно будет равенство lim(k/x m)=0 при х→∞. Во втором пункте указывается, что для пределов двух функций limf(х)=b и limg(х)=cбудут справедливы аналогичные свойства пределов последовательностей. То есть предел суммы определяется суммой пределов lim(f(х) + g(х))= b+с, предел произведения равен произведению пределов limf(х) g(х)= bс, предел частного равен частному пределовlimf(х)/g(х)= b/с при g(х)≠0 и с≠0, а также постоянный множитель может выносится за знак предела limkf(х) = kb.

Закрепить полученные знания можно при помощи описания решения примера 1, в котором нужно определить lim(√3·х 5 -17)/(х 5 +9). Для получения решения числитель и знаменатель дроби делятся на высшую степень переменной, то есть х 5 . После вычисления получаем lim(√3-17/ х 5)/(1+9/х 5).

Оценив пределы и воспользовавшись свойством предела частного, определяем, что lim(√3·х 5 -17)/(х 5 +9)=√3/1=√3. К данному примеру дается важное замечание, что вычисление пределов функции аналогично вычислению пределов последовательностей, но в данном случае нужно учесть, что х не может принимать значение - 5 √9, которое обращает знаменатель в нуль.

На следующем слайде рассмотрен случай, когда х→a. На рисунке хорошо видно, что для некоторой функции f(х) при приближении переменной к точке а, значение функции приближается к ординате соответствующей точки на графике, то есть limf(х)=b при х→a.

Слайды 9, 10, 11 содержат определения, раскрывающие понятия непрерывности функции, непрерывной функции в точке, на промежутке. При этом непрерывной считают функцию, у которой limf(х)= f(а) при х→a. В точке а функция будет непрерывной, если верно соотношение limf(х)= f(а) при х→a, а непрерывной на промежутке Х будет функция, непрерывная в любой точке промежутка Х.

Приводятся примеры оценки непрерывности функций. Отмечено, что функции у=С, y=kx+m, y=ax 2 +bx+c, y=|x|, y=x n для натуральных n являются непрерывными на всей числовой прямой, функция у=√х непрерывна на положительной полуоси, а функция y=x n непрерывна на положительной полуоси и отрицательной полуоси с разрывом в точке 0, непрерывными будут тригонометрические функции у=sinx, у=cosxна всей прямой, а у=tgx, у=ctgxпо всей области определения. Также функция, состоящая из рациональных или иррациональных, тригонометрических выражений, она является непрерывной для всех точек, где определена функция.

В примере 2 нужно вычислить предел lim (x 3 +3x 2 -11х-8) при х→-1. В начале решения отмечается, что данная функция, состоящая из рациональных выражений, определена на всей числовой оси и в точке х=-1. Поэтому функция является непрерывной в точке х=-1 и при стремлении к ней предел получает значение функции, то есть lim (x 3 +3x 2 -11х-8)=5 при х→-1.

Пример 3 демонстрирует вычисление предела lim (cosπx/√x+6) при х→1. Отмечается, что функция определена на всей числовой оси, поэтому является непрерывной и в точке х=1, следовательно, lim (cosπx/√x+6)=-1/7 при х→1.

В примере 4 требуется вычислить lim((x 2 -25)/(x-5)) при х→5. Данный пример особенный тем, что для х=5 знаменатель функции обращается в нуль, что недопустимо. Определить предел можно, преобразовав выражение. После сокращения получаем f(х)=х+5. Только в поиске решений следует учесть, то х≠5. При этомlim((x 2 -25)/(x-5))= lim(x+5)=10 при х→5.

На слайде 17 описано замечание, которое демонстрирует получение важного предела lim(sint/t)=1 при t →0, используя числовую окружность.

Слайд 18 представляет определение приращения аргумента и приращения функции. Приращение аргумента представлено разностью переменных х 1 -х 0 для функции, определенной в точках х 0 и х 1 . При этом изменение значения функции f(х 1)- f(х 0) называется приращением функции. Вводятся обозначения приращения аргумента Δх и приращения функции Δ f(х).

В примере 5 определяется приращение функции y=x 2 при переходе точки х 0 =2 к х=2,1 и х=1,98. Решение примера сводится к поиску значений в исходной и конечной точках и их разности. Так, в первом случае Δу=4,41-4=0,41, а во втором случае Δу=3,9204-4=-0,0796.

На слайде 21 отмечается, что при х→а справедлива запись (х-а)→0, что означает Δх→0. Также при стремлении f(х) → f(а), используемом в определении непрерывности справедлива запись f(х)-f(а) →0, то есть Δу→0. Используя данную запись, дается новое определение непрерывности в точке х=а, если для функции f(х) справедливо условие: если Δх→0, то Δу→0.

Для закрепления материала описывается решение примеров 6 и 7 ,в которых нужно найти приращение функции и предел отношения приращения функции к приращению аргумента. В примере 6 это нужно сделать для функции y=kx+m. Выводится приращение функции при переходе точки из х в (х+ Δх), демонстрируя изменения на графике. При этом получается Δу= kΔх, а lim(Δу/ Δх)=k при Δх→0. Аналогично разбирается поведение функции у=х 3 . Приращение данной функции при переходе точки из х в (х+ Δх) равно Δу=(3х 2 +3х Δх+(Δх) 2) Δх, а предел функции lim(Δу/ Δх)=3х 2 .

Презентация «Предел функции» может использоваться для ведения традиционного урока. Презентацию рекомендуется применять как инструмент дистанционного обучения. При необходимости самостоятельного изучения темы учеником пособие рекомендуется для самостоятельной работы.