Разделы: Начальная школа

Класс: 2

Основные цели:

1) сформировать представление о свойстве вычитания суммы из числа, способность к использованию этого свойства для рационализации вычислений;

2) тренировать навыки устного счёта, способности к самостоятельному анализу и решению составных задач;

3) воспитывать аккуратность.

Демонстрационный материал:

1) изображение Незнайки. <Рисунок1 >

2) карточки с высказыванием: же – лаю – успе – хов.

3) песочные часы.

4) эталон вычитания суммы из числа.

a-(b+c) = (a-b)-c = (a-c)-b

5) эталон порядка действий. a – (b+c)

6) образец для самопроверки для этапа 6:

7) образец для самопроверки для 7-ого этапа.

1) 45 -15=30 (м) – осталось у Дениса

2) 30 - 13 =17 (м)

Ответ: у Дениса осталось 17 марок.

Раздаточный материал:

1) карточка бежевого цвета с индивидуальным заданием для этапа 2 на каждого учащегося:

2) карточка зелёного цвета с индивидуальным заданием для этапа 5.

3) самостоятельная работа для этапа 6.

4) сигналы светофора: красный, жёлтый, зелёный.

Ход урока:

I. Самоопределение к учебной деятельности.

1) мотивировать к деятельности на уроке через введение сказочного персонажа;

2) определить содержательные рамки урока: вычитание суммы из числа.

Организация учебного процесса на этапе I.

Что повторили на прошлом уроке? (Свойства сложения)

Какие свойства сложения повторили? (Переместительное и сочетательное)

Зачем нам нужно знать свойства сложения? (Удобнее решать примеры)

Сегодня в гостях у нас сказочный герой Незнайка.<Рисунок1 >

Он подготовил много интересных заданий и будет наблюдать, как мы работаем на уроке. Готовы?

II. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.

1) тренировать мыслительную операцию – обобщение;

2) повторить правила порядка действий в выражениях со скобками;

3) организовать затруднение в индивидуальной деятельности и его фиксацию учащимися в громкой речи.

Организация учебного процесса на этапе II.

1) Устный счёт.

Посмотрите на доску и выполните действия устно.<Приложение 1 >

Если мы их выполним правильно, то прочитаем пожелание, которое зашифровал нам Незнайка:

(К 27 прибавить 19, получится 46;

Из 46 вычесть 24 получится 22;

К 22 прибавить 38 получится 60;

Из 60 вычесть 5 получится 55)

Увеличьте 55 на 200. (200+55=255)

Дайте характеристику числу 255. (255 – трёхзначное число, содержит две сотни, пять десятков и пять единиц. Предыдущее число 254, последующее 256, сумма разрядных слагаемых 200+50+5, сумма цифр 12).

Выразите число 255 в различных единицах счёта. (255=2с 5д 5ед = 25д 5ед = 2с 55ед)

Выразите 255 см в различных единицах измерения. (255=2м 5дм 5см=25дм 5см=2м 55см)

2) Повторение правила порядка действий в выражениях со скобками. <Приложение 2 >

Чем похожи выражения? (Компонентами действий, одинаковый порядок действий)

Чем отличаются выражения? (Разные вычитаемые)

Как представлены вычитаемые? (Вычитаемые представлены суммой двух чисел)

Что повторяли мы, находя значения выражений? (Порядок действий).

Зачем повторяли порядок действий?

Где мы можем повторить правило порядка действий? (В учебнике или эталонах <Приложение 3 > )

3) Индивидуальное задание.

Возьмите ручку и лист бежевого цвета.<Приложение 4 >

Сейчас на время будем решать примеры. По моей команде останавливаете своё решение.

Внимание! Начали! …

Поднимите руку, кто решил все примеры?

Поднимите руку, кто решил один пример?

Предложите эталон, по которому вы решали примеры. (Эталона мы не знаем).

Кто не решил примеры?

III.Выявление причин затруднения и постановка цели деятельности.

1) выявить и зафиксировать место и причину затруднения;

2) согласовать цель и тему урока.

Организация учебного процесса на этапе III.

Повторите, какое было задание?

Почему возникло затруднение? (Мало времени, нет подходящего свойства)

Что же делать? (Предположение детей). Отложите листы.

Попробуйте сформулировать цель урока.

Сформулируйте тему урока.

Тема урока: Вычитание суммы из числа. Проговорите тему урока про себя, вполголоса. (Тема урока записана на доске)

IV. Построение проекта выхода из затруднения.

1) организовать построение детьми нового способа действия, используя подводящий диалог;

2) зафиксировать новый способ действия знаково и в речи.

Организация учебного процесса на этапе IV.

Посмотрите и прочитайте выражение: 87 – (7+15).

Какое слагаемое удобнее вычесть сначала? (Удобнее вычесть первое слагаемое – 7)

Мы вычли первое слагаемое, а нам надо вычесть два слагаемых. Что надо сделать? (Вычесть второе слагаемое)

Учитель ведёт запись на доске. <Приложение5 >

Посмотрите, число 87 заменю буквой a, число 7 буквой b, число 15 буквой c, получится равенство. <Приложение 6 >

Давайте посмотрим. Прочитайте выражение: 87 – (15+7)

Какое удобнее вычесть слагаемое из числа 87? (Удобнее вычесть второе слагаемое 7)

Учитель ведёт запись на доске.

Мы вычли второе слагаемое, а нам нужно вычесть два слагаемых. Что надо сделать? (Вычесть первое слагаемое)

Учитель ведёт запись на доске. <Приложение 7 >

Давайте посмотрим. Число 87 заменю буквой a, число 7 буквой b, число 15 буквой c, получится равенство. <Приложение 8 >

Сделайте вывод, как можно вычесть сумму из числа. (Выслушиваются ответы детей)

Где мы можем проверить, правильно ли мы сделали выводы? (В учебнике)

Откройте учебник на стр. 44. Прочитайте правило. <Приложение 9 >

V. Первичное закрепление во внешней речи.

Цель: создать условия для фиксации изученного способа действия во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе V.

Кто повторит правило?

Почему возникло затруднение? (Мы не могли быстро решать)

А теперь можем?

Что нам помогло? (Правило вычитание суммы из числа)

Возьмите лист зелёного цвета и по моей команде решите примеры. <Приложение10 >

Внимание! Начали! Стоп!

Фронтальный опрос.

Сколько получилось в первом примере?

У кого так поднимите руку.

У кого ошибка?

Сколько получилось во втором примере?

У кого так поднимите руку.

У кого ошибка?

Как решал? Где ошибка? В чём причина?

Можете ли вы сказать, что научились решать? (Да)

Что помогло? (Знаем правило, скорость решения увеличилась)

Где мы можем применить новый приём? (При решении задач, примеров).

Дома решите на странице 44, задание №4, на новое правило. Придумайте и запишите свой пример. (Задание записано на доске). <Приложение11 >

Кто напомнит правило?

VI. Самостоятельная работа с самопроверкой.

1) организовать самостоятельное выполнение учащимися типовых заданий на новый способ действия с самопроверкой по образцу;

2) организовать самооценку детьми правильности выполнения задания.

Организация учебного процесса на этапе VI.

А сейчас Незнайка посмотрит, как мы научились применять новое правило.

Самостоятельная работа.<Приложение12 >

Для чего мы выполняем самостоятельную работу? (Выяснить трудности и их преодолеть, проверить свои силы)

Какие способы вычитания суммы из числа изучили? (Удобно вычесть одно слагаемое, а потом другое)

Возьмите лист белого цвета. По моей команде начинаем решать.

Начали…Стоп.

Возьмите простой карандаш и сверьте с образцом. <Приложение13 >

У кого так, поставьте “+”.

У кого ошибка, поставьте “-”.

Поднимите руку, кому всё удалось?

Поднимите руку, у кого есть ошибка? Где возникло затруднение? (Вычислительный приём)

Вы замечательно поработали.

Чему вы научились на уроке? (научились удобным способом вычитать сумму из числа)

Сделайте вывод. (Ответы детей)

Физминутка.

VII. Включение в систему знаний и повторение.

Цель: повторить решение задачи, найти удобный способ её решения.

Организация учебного процесса на этапе VII.

Где можно применить изученные правила? (При решении задач, примеров)

Посмотрите и прочитайте задачу №3 про себя.

Проведите анализ задачи. (В задаче известно, что у Дениса было 45 марок. Он подарил Пете 15 марок, а Коле 13 марок. Надо узнать, сколько марок у него осталось.

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо из общего количества марок вычесть количество марок, которые Денис подарил Пете и Коле. Сразу не можем ответить на вопрос задачи, так как не знаем, сколько всего марок Денис подарил Пете и Коле. А это можем узнать, прибавив количество марок, которые он подарил Пете к количеству марок, которые он подарил Коле).

В случае затруднения при анализе задачи, учитель помогает вопросами, которые представлены ниже:

Что известно в задаче?

Что надо узнать?

Как ответить на вопрос задачи?

Можем ли сразу ответить на вопрос задачи? Почему?

А это можем узнать? Как?

Расскажите план решения задачи. (Первым действием узнаем, сколько всего марок подарил Денис, затем ответим на вопрос задачи). <Приложение 14 >

Кто по–другому решил задачу? (Чтобы ответить на вопрос задачи, надо из общего количества марок вычесть количество марок, которые Денис подарил Пете, а затем количество марок, которые он подарил Коле)

Расскажите план решения задачи вторым способом. (Первым действием узнаем, сколько марок осталось у Дениса, после того, как он подарил Пете, а затем узнаём, сколько марок у него осталось, после того, как он подарил Коле 13 марок и ответим на вопрос задачи). <Приложение15 >

Каким способом удобнее решить задачу? Почему? (Вторым, удобнее из целого вычесть одну часть, а затем другую часть)

Запишите решение задачи удобным способом. Самопроверка по образцу. <Приложение16 >

VIII. Рефлексия деятельности.

1) зафиксировать в речи новый способ действия, изученный на уроке: вычитание суммы из числа;

2) зафиксировать затруднения, которые остались, и способы их преодоления;

3) оценить собственную деятельность на уроке, согласовать домашнее задание.

Организация учебного процесса на этапе VIII.

Итак, сегодня на уроке к нашим знаниям добавилось ещё одно правило, вспомните его. (Сегодня на уроке мы научились вычитать сумму из числа. Чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть одно слагаемое, а потом другое)

У кого возникли затруднения?

Удалось ли их преодолеть? Как?

Над чем надо ещё поработать?

Выставление учителем оценок за работу на уроке.

Домашнее задание: стр.44, №4. Придумать и решить свой пример по новой теме.

Литература

1) Учебник “Математика 2 класс, 2 часть”; Л.Г. Петерсон. Издательство “Ювента”, 2008 год.

3) Л.Г. Петерсон, И.Г. Липатникова “Устные упражнения на уроках математики 2 класс”. М.: “Школа 2000…”

Понятие вычитания лучше всего рассмотреть на примере. Вы решили попить чай с конфетами. В вазе лежало 10 конфет. Вы съели 3 конфеты. Сколько конфет осталось в вазе? Если мы от 10 вычтем 3 то, в вазе останется 7 конфет. Запишем задачу математически:

Подробно разберем запись:
10 – это число от которого мы отнимаем или которое уменьшаем, поэтому его называют уменьшаемым .
3 – это число, которое мы вычитаем. Поэтому его называют вычитаемым .
7 – это число результат вычитания или еще его называют разностью . Разность показывает на сколько первое число (10) больше второго числа (3) или насколько второе число (3) меньше первого числа (10).

Если вы сомневаетесь правильно ли нашли разность, нужно сделать проверку . К разности прибавить второе число: 7+3=10

При вычитании л уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого.

Делаем вывод из сказанного. Вычитание – это действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находится второе слагаемое.

В буквенном виде это выражение будет выглядеть так:

a — b = c

a – уменьшаемое,
b – вычитаемое,
c – разность.

Свойства вычитания суммы из числа.

13 — (3 + 4)=13 — 7=6
13 — 3 — 4 = 10 — 4=6

Пример можно решить двумя способами. Первый способ, найти сумму чисел (3+4), а потом вычесть от общего числа (13). Второй способ, от общего числа (13) вычесть первое слагаемое(3), а потом из полученной разности отнять второе слагаемое(4).

В буквенном виде свойство вычитания суммы из числа будет выглядеть так:
a — (b + c) = a — b — c

Свойство вычитания числа из суммы.

(7 + 3) — 2 = 10 — 2 = 8
7 + (3 — 2) = 7 + 1 = 8
(7 — 2) + 3 = 5 + 3 = 8

Чтобы вычесть из суммы число, можно это число вычесть из одного слагаемого, а потом к полученному результату разности прибавить второе слагаемое. При условии слагаемое будет больше вычитаемого числа.

В буквенном виде свойство вычитания числа из суммы будет выглядеть так:
(7 + 3) — 2 = 7 + (3 — 2)
(a + b) — c= a + (b — с) , при условии b > c

(7 + 3) — 2=(7 — 2) + 3
(a + b) — c=(a — c) + b , при условии a > c

Свойство вычитания с нулем.

10 — 0 = 10
a — 0 = a

Если из числа вычесть нуль то, будет тоже самое число.

10 — 10 = 0
a — a = 0

Если из числа вычесть тоже самое число то, будет нуль.

Вопросы по теме:
В примере 35 — 22 = 13 назовите уменьшаемое, вычитаемое и разность.
Ответ: 35 – уменьшаемое, 22 – вычитаемое, 13 – разность.

Если числа одинаковые, чему равна их разность?
Ответ: нуль.

Сделайте проверку вычитания 24 — 16 = 8?
Ответ: 16 + 8 = 24

Таблица вычитания натуральных чисел от 1 до 10.

Примеры на задачи по теме «Вычитание натуральных чисел».
Пример №1:
Вставьте пропущенное число: а)20 — … = 20 б) 14 — … + 5 = 14
Ответ: а) 0 б) 5

Пример №2:
Можно ли выполнить вычитание: а) 0 — 3 б) 56 — 12 в) 3 — 0 г) 576 — 576 д) 8732 — 8734
Ответ: а) нет б) 56 — 12 = 44 в) 3 — 0 = 3 г) 576 — 576 = 0 д) нет

Пример №3:
Прочитайте выражение: 20 — 8
Ответ: “От двадцати отнять восемь” или “из двадцати вычесть восемь”. Правильно произносить слова

Число, из которого вычитают, называют уменьшаемое , а число, которое вычитаем, — вычитаемое . Итог действий вычитания называется разность .

Пусть нам известно: сумма 2-х чисел c и b равно a , значит, разность a−c будет b , а разность a−b будет c .

Удобней всего производить вычитание методом «в столбик ».

Таблица вычитания.

Для более легкого и быстрого осваивания процесса вычитания просмотрите и запомните таблицу вычитания до десяти для 2 класса:

Свойства вычитания натуральных чисел.

• Вычитание, как процесс, НЕ обладает переместительным свойством : a−b≠b−a.
• Разность одинаковых чисел равна нулю: a−a=0.
• Вычитание суммы 2-х целых чисел из целого числа: a−(b+c)=(a−b)−c.
• Вычитания числа из суммы 2-х чисел: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c).
• Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b−c)=a·b−a·c и (a−b)·c=a·c−b·c.
• И все другие свойства вычитания целых чисел (натуральных чисел).

Рассмотрим некоторые из них:

Свойство вычитания двух равных натуральных чисел.

Разность 2-х одинаковых натуральных чисел равна нулю.

a−a=0,

где a - любое натуральное число.

Вычитание натуральных чисел НЕ обладает переместительным свойством.

Из выше описанного свойства видно, что для 2-х одинаковых натуральных чисел переместительное свойство вычитания работает. Во всех других вариантах (если уменьшаемое ≠ вычитаемому) вычитание натуральных чисел не имеет переместительного свойства. Или, если сказать по другому, уменьшаемое и вычитаемое не меняют местами.

Когда уменьшаемое больше вычитаемого и мы решили поменять их местами, значит, мы будем вычитать из натурального числа, которое меньше, натуральное число, которое больше. Эта система не соответствует сути вычитания натуральных чисел.

Если a и b неравные натуральные числа, то a−b≠b−a . Например, 45−21≠21−45.

Свойство вычитания суммы двух чисел из натурального числа.

Вычесть из указанного натурального числа нужную сумму 2-х натуральных чисел - это тоже самое, если из указанного натурального числа вычитать 1-е слагаемое нужной суммы, далее из расчитанной разности вычесть 2-е слагаемое.

При помощи букв это можно выразит таким образом:

a−(b+c)=(a−b)−c,

где a, b и c - натуральные числа, обязательно должны выполняться условия a>b+c или a=b+c.

Свойство вычитания натурального числа из суммы двух чисел.

Вычитать из суммы 2-х чисел натуральное число - тоже самое, что и вычитать число из одного из слагаемых, и далее складывать разность и другое слагаемое. Вычитаемое число НЕ может быть больше слагаемого, из которого это число вычитаем.

Пусть a, b и c - натуральные числа. Значит, если a больше или равно c , равенство (a+b)−c=(a−c)+b будет соответствовать истине, а если b больше или равно c , то: (a+b)−c=a+(b−c). Когда и a и b больше или равно c , значит оба последних равенства имеют место, и их можно записать вот так:

(a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c).

Разностью целых неотрицательных чисел а и b называется число элементов в дополнении множества В до множества А при условии, что n (A )= a , n (B )= b , BA , т.е. а - b = n (A B ). Это обуславливается тем, что А=В(АВ), т.е. n (A )= n (B ) + n (A B ).

Докажем это. Так как по условию В - собственное подмножество множества А, то их можно представить так, как на рис. 3.

Вычитание натуральных (целых неотрицательных) чисел определяется как операция, обратная сложению: а - b = с () b + c = a.

Разность АВ на этом рисунке заштрихована. Видим, что множества В и АВ не пресекаются и их объединение равно А . Поэтому число элементов в множестве А можно найти по формуле n(A)=n(B) + n(AB) , откуда по определению вычитания как операции, обратной сложению, получаем n(AB) = а - b.

Аналогичное истолкование получает вычитание нуля, а также вычитание а из а . Так как А=А, АА=, то а - 0 = а и а - а = 0.

Разность а - b целых неотрицательных чисел существует тогда и только тогда, когда .

Действие, при помощи которого находят разность а - b , называется вычитанием , число а - уменьшаемым, b - вычитаемым.

Используя определения, покажем, что 8 - 5 = 3. Пусть даны два множества такие, что n(A) = 8, n(B) = 5. И пусть множество В является подмножеством множества А . Например, А = {a, s, d, f, g, h, j, k }, B = {a, s, d, f, g }.

Найдем дополнение множества В до множества А: АВ = {h, j, k }. Получаем, что n(AB) = 3.

Следовательно, 8 - 5 = 3.

Взаимосвязь вычитания чисел и вычитания множеств позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач.Выясним, почему следующая задача решается при помощи вычитания, и решите ее: «У школы росло 7 деревьев, из них 3 березы, остальные липы. Сколько лип росло у школы?»

Представим условие задачи наглядно, изобразив каждое дерево, посаженное возле школы кружком (рис. 4). Среди них есть 3 березы - на рисунке выделим их штриховкой. Тогда остальные деревья - не заштрихованные кружки - и есть липы. Т. е. их столько, сколько будет из 7 вычесть 3, т. е. 4.

В задаче рассматриваются три множества: множество А всех деревьев, множество В - берез, которое является подмножеством А , и множество С лип - оно представляет собой дополнение множества В до А . В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении.

По условию n(A) = 7, n(B) = 3 и BА. Пусть А = {a, b, c, d, e, f, g }, B = {a, b, c }. Найдем дополнение множества А до В : AB = {d, e, f, g} и n(AB) = 4.

Значит, n(C) = n(AB) = n(A)- n(B) = 7 - 3 = 4.

Следовательно, у школы росло 4 липы.

Рассматриваемый подход к сложению и вычитанию целых неотрицательных чисел позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций различные правила.

Правило вычитания числа из суммы: чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного из слагаемых и к полученному результату прибавить другое слагаемое, т.е. при ас имеем, что (a+b)-c=(a-c)+b; при bc имеем, что (a+b)-c=a+(b-c) ; при ac и bc можно использовать любую из данных формул.

Выясним смысл данного правила: Пусть А, В, С - такие множества, что n(A)=a, n(B)=b и AB= , СА (рис.5).

Нетрудно доказать с помощью кругов Эйлера, что для данных множеств имеет место равенство .

Правая часть равенства имеет вид:

Левая часть равенства имеет вид: Следовательно (a + b) - c = (a- c) + b ,при условии, что а> c .

Правило вычитания суммы из числа : чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим, т.е. при условии, что a b +c, имеем а - (b + c) = (a - b) - c.

Выясним смысл данного правила. Для данных множеств имеет место равенство .

Тогда получим, что правая часть равенства имеет вид:. Левая часть равенства имеет вид: .

Следовательно (a + b) - c = (a- c) + b , при условии, что а> c .

Правило вычитания разности из числа: чтобы вычесть из числа а разность b - c , достаточно к данному числу прибавить вычитаемое с и из полученного результата вычесть уменьшаемое b ; при a > b можно вычесть из числа а уменьшаемое b и к полученному результату прибавить вычитаемое с, т.е. а - (b - c) = (a + c) - b = (a - b) +c.

Значит, А(ВС) = .

Следовательно, n(А(ВС)) = n( ) и а - (b - c) = (a + c) - b .

Правило вычитания числа из разности: чтобы из разности двух чисел вычесть третье число, достаточно из уменьшаемого вычесть сумму двух других чисел, т.е. (а - b) - c = a - (b + c). Доказывается аналогично правилу вычитания суммы из числа.

Пример. Какими способами можно найти разность: а) 15 - (5 + 6); б) (12 + 6) - 2?

Решение . а) Используем правило вычитания суммы из числа: 15 - (5 + 6) = (15 - 5) - 6 = 10 - 6 = 4.

Или 15 - (5 + 6) = (15 - 6) - 5 = 9 - 4 = 4.

Или 15 - (5 + 6) = 15 - 11= 4.

б) Используем правило вычитания числа из суммы: (12 + 6) - 2 = (12 - 2) + 6 = 10 + 6 = 16.

Или (12 + 6) - 2 = 12 + (6 - 2) = 12 + 4 = 16.

Или (12 + 6) - 2 = 18 - 2 = 16.

Данные правила позволяют упростить вычисления и широко используются в начальном курсе математики.

Для полноценного разбора темы статьи введем термины и определения, обозначим смысл действия вычитания и выведем правило, согласно которому действие вычитания возможно привести к выполнению действия сложения. Разберем практические примеры. А также рассмотрим действие вычитания в геометрическом толковании – на координатной прямой.

В общем, основные термины, используемые для описания действия вычитания, едины для любого типа чисел.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Уменьшаемое – целое число, из которого будет производиться вычитание.

Вычитаемое – целое число, которое будем вычитать.

Разность – результат выполненного действия вычитания.

Для обозначения самого действия используется знак минус, размещённый между уменьшаемым и вычитаемым. Все составные части действия, указанные выше, записываются в виде равенства. Т.е., если заданы целые числа a и b , и при вычитании из первого второго получается число c , действие вычитания запишется следующим образом: a – b = c .

Выражение вида a – b также будем обозначать как разность, как и само конечное значение этого выражения.

Смысл вычитания целых чисел

В теме вычитания натуральных чисел была установлена взаимосвязь между действиями сложения и вычитания, которая дала возможность определить вычитание как поиск одного из слагаемых по известной сумме и второму слагаемому. Примем, что вычитание целых чисел имеет такой же смысл: по заданной сумме и одному из слагаемых определяется второе слагаемое.

Указанный смысл действия вычитания целых чисел дает возможность утверждать, что c - b = a и c - a = b , если a + b = c , где a , b , c – целые числа.

Рассмотрим простые примеры для закрепления теории:

Пусть мы знаем, что - 5 + 11 = 6 , тогда разность 6 - 11 = - 5 ;

Допустим, известно, что - 13 + (- 5) = - 18 , тогда - 18 – (- 5) = - 13 , а - 18 – (- 13) = - 5 .

Правило вычитания целых чисел

Указанный выше смысл действия вычитания не обозначает для нас конкретного способа вычислить разность. Т.е. мы можем утверждать, что одно из известных слагаемых – результат вычитания из суммы другого известного слагаемого. Но, если одно из слагаемых окажется неизвестным, то мы не можем знать, какова будет разность между суммой и известным слагаемым. Следовательно, для выполнения действия вычитания нам потребуется правило вычитания целых чисел:

Определение 1

Для того, чтобы определить разность двух чисел, необходимо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому, т.е. a – b = a + (- b) , где a и b – целые числа; b и – b – противоположные числа.

Докажем указанное правило вычитания, т.е. докажем справедливость указанного в правиле равенства. Для этого, согласно смыслу вычитания целых чисел, прибавим к a + (- b) вычитаемое b и убедимся, что получим в результате уменьшаемое a, т.е. проверим действительность равенства (a + (- b)) + b = a . На основании свойств сложения целых чисел мы можем записать цепочку равенств: (a + (- b)) + b = a + ((- b) + b) = a + 0 = a , она и будет являться доказательством правила вычитания целых чисел.

Рассмотрим применение правила вычитания целых чисел на конкретных примерах.

Вычитание целого положительного числа, примеры

Необходимо выполнить вычитание из целого числа 15 целого положительного числа 45 .

Решение

Согласно правилу, чтобы из заданного числа 15 вычесть целое положительное число 45 , нужно к уменьшаемому 15 прибавить число - 45 , т.е. противоположное заданному 45 . Таким образом, искомая разность будет равна сумме целых чисел 15 и - 45 . Вычислив нужную сумму чисел с противоположными знаками, получим число - 30 . Т.е. итогом вычитания числа 45 из числа 15 будет число - 30 . Запишем все решение в одну строку: 15 - 45 = 15 + (- 45) = - 30 .

Ответ: 15 - 45 = - 30 .

Пример 2

Необходимо вычесть из целого отрицательного числа - 150 целое положительное число 25 .

Решение

Согласно правилу, прибавим к уменьшаемому числу - 150 число - 25 (т.е. противоположное заданному вычитаемому 25). Найдем сумму целых отрицательных чисел: - 150 + (- 25) = - 175 . Таким образом, искомая разность равна. Все решение запишем так: - 150 - 25 = - 150 + (- 25) = - 175 .

Ответ: - 150 - 25 = - 175 .

Вычитание нуля, примеры

Правило вычитания целых чисел дает возможность вывести принцип вычитания нуля из целого числа – вычитание нуля из любого целого числа не изменяет это число, т.е. a - 0 = a, где a – произвольное целое число.

Поясним. Согласно правилу вычитания, вычитание нуля – это прибавление к уменьшаемому числа, противоположного нулю. Нуль – число, противоположное самому себе, т.е. вычесть нуль это то же самое, что прибавить нуль. На основе соответствующего свойства сложения прибавление нуля к любому целому числу не изменяет это число. Таким образом,

a - 0 = a + (- 0) = a + 0 = a .

Рассмотрим простые примеры вычитания нуля из различных целых чисел. Например, разность 61 - 0 равна 61 . Если же из целого отрицательного числа - 874 вычесть нуль, то получится - 874 . Если от нуля отнять нуль, получим нуль.

Вычитание целого отрицательного числа, примеры

Необходимо вычесть из целого числа 0 целое отрицательное число - 324 .

Решение

Согласно правилу вычитания определение разности 0 - (- 324) необходимо произвести прибавлением к уменьшаемому числу 0 числа, противоположного вычитаемому - 324 . Тогда: 0 - (- 324) = 0 + 324 = 324

Ответ: 0 - (- 324) = 324

Пример 4

Определить разность - 6 - (- 13) .

Решение

Произведем вычитание из целого отрицательного числа - 6 целого отрицательного числа - 13 . Для этого вычислим сумму двух чисел: уменьшаемого - 6 и числа 13 (т.е. противоположного заданному вычитаемому - 13). Получим: - 6 - (- 13) = - 6 + 13 = 7 .

Ответ: - 6 - (- 13) = 7 .

Вычитание равных целых чисел

Если заданные уменьшаемое и вычитаемое равны, то их разность будет равна нулю, т.е. a - a = 0 , где a – любое целое число.

Поясним. Согласно правилу вычитания целых чисел a - a = a + (- a) = 0 , что означает: чтобы из целого числа вычесть равное ему, нужно прибавить к этому числу число, ему противоположное, что даст в результате нуль.

Например, разность равных целых чисел - 54 и - 54 равна нулю; совершая действие вычитания из числа 513 числа 513 , получаем нуль; отнимая от нуля нуль, получаем также нуль.

Проверка результата вычитания целых чисел

Необходимая проверка производится с помощью действия сложения. Для этого к полученной разности прибавляем вычитаемое: в итоге должно получится число, равное уменьшаемому.

Пример 5

Было произведено вычитание целого числа - 112 из целого числа - 300 , при этом получена разность - 186 . Верно ли было произведено вычитание?

Решение

Выполним проверку согласно указанному выше принципу. Прибавим к заданной разности вычитаемое: - 186 + (- 112) = - 298 . Мы получили число, отличное от заданного уменьшаемого, следовательно, была допущена ошибка при вычислении разности.

Ответ: нет, вычитание было произведено неверно.

В заключение рассмотрим геометрическое толкование действия вычитания целых чисел. Начертим горизонтальную координатную прямую, направленную вправо:

Выше мы вывели правило совершения действия вычитания, согласно ему: a - b = a + (- b) , тогда геометрическое толкование вычитания чисел a и b будет совпадать с геометрическим смыслом сложения целых чисел a и – b . Из этого следует, что для вычитания из целого числа a целого числа b , необходимо:

Сдвинуться из точки с координатой a на b единичных отрезков влево, если b – положительное число;

Сдвинуться из точки с координатой a на | b | (модуль числа b) единичных отрезков вправо, если b – отрицательное число;

Остаться в точке с координатой a , если b = 0 .

Рассмотрим на примере с применением графического изображения:

Пусть необходимо вычесть из целого числа - 2 целое положительное число 2 . Для этого, согласно вышеуказанной схеме, переместимся влево на 2 единичных отрезка, попадая, таким образом, в точку с координатой - 4 , т.е. - 2 - 2 = - 4 .

Еще один пример: вычитаем из целого числа 2 целое отрицательное число - 3 . Тогда, согласно схеме, переместимся вправо на | - 3 | = 3 единичных отрезка, попадая, таким образом, в точку с координатой 5 . Получаем равенство: 2 - (- 3) = 5 и иллюстрацию к нему:

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter