В 8 классе на уроках геометрии в школе ученики впервые знакомятся с понятием выпуклого многоугольника. Очень скоро они узнают, что эта фигура обладает очень интересным свойством. Какой бы сложной она ни была, сумма всех внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника принимает строго определенное значение. В данной статье репетитор по математике и физике рассказывает о том, чему равна сумма углов выпуклого многоугольника.

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника

Как доказать эту формулу?

Прежде чем перейти к доказательству этого утверждения, вспомним, какой многоугольник называется выпуклым. Выпуклым называется такой многоугольник, который целиком находится по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Например такой, который изображен на этом рисунке:

Если же многоугольник не удовлетворяет указанному условию, то он называется невыпуклым. Например, такой:

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна , где — количество сторон многоугольника.

Доказательство этого факта основано на хорошо известной всем школьникам теореме о сумме углов в треугольнике. Уверен, что и вам эта теорема знакома. Сумма внутренних углов треугольника равна .

Идея состоит в том, чтобы разбить выпуклый многоугольник на несколько треугольников. Сделать это можно разными способами. В зависимости от того, какой способ мы выберем, доказательства будут немного отличаться.

1. Разобьём выпуклый многоугольник на треугольники всеми возможными диагоналями, проведёнными из какой-нибудь вершины. Легко понять, что тогда наш n-угольник разобьётся на треугольника:

Причём сумма всех углов всех получившихся треугольников равна сумме углов нашего n-угольника. Ведь каждый угол в получившихся треугольниках является частичной какого-то угла в нашем выпуклом многоугольнике. То есть искомая сумма равна .

2. Можно также выбрать точку внутри выпуклого многоугольника и соединить её со всеми вершинами. Тогда наш n-угольник разобьется на треугольников:

Причём сумма углов нашего многоугольника в этом случае будет равна сумме всех углов всех этих треугольников за вычетом центрального угла, который равен . То есть искомая сумма опять же равна .

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника

Зададимся теперь вопросом: «Чему равна сумма внешних углов выпуклого многоугольника?» Ответить на этот вопрос можно следующим образом. Каждый внешний угол является смежным с соответствующим внутренним. Поэтому он равен :

Тогда сумма всех внешних углов равна . То есть она равна .

То есть получается весьма забавный результат. Если отложить последовательно друг за другом все внешние углы любого выпуклого n-угольника, то в результате заполнится ровно вся плоскости.

Этот интересный факт можно проиллюстрировать следующим образом. Давайте пропорциональном уменьшать все стороны какого-нибудь выпуклого многоугольника до тех пор, пока он не сольётся в точку. После того, как это произойдёт, все внешние углы окажутся отложенными один от другого и заполнят таким образом всю плоскость.

Интересный факт, не правда ли? И таких фактов в геометрии очень много. Так что учите геометрию, дорогие школьники!

Материал о том, чему равна сумма углов выпуклого многоугольника, подготовил , Сергей Валерьевич

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Сумма углов n-угольника Теорема. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180 o (n-2). Доказательство. Из какой-нибудь вершины выпуклого n-угольника проведем все его диагонали. Тогда n-угольник разобьется на n-2 треугольника. В каждом треугольнике сумма углов равна 180 о, и эти углы составляют углы n-угольника. Следовательно, сумма углов n- угольника равна 180 о (n-2).

Второй способ доказательства Теорема. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180 o (n-2). Доказательство 2. Пусть O какая-нибудь внутренняя точка выпуклого n-угольника A 1 …A n. Соединим ее с вершинами этого многоугольника. Тогда n-угольник разобьется на n треугольников. В каждом треугольнике сумма углов равна 180 о. Эти углы составляют углы n-угольника и еще 360 о. Следовательно, сумма углов n- угольника равна 180 о (n-2).

Упражнение 3 Докажите, что сумма внешних углов выпуклого n- угольника равна 360 о. Доказательство. Внешний угол выпуклого многоугольника равен 180 о минус соответствующий внутренний угол. Следовательно, сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна 180 о n минус сумма внутренних углов. Так как сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180 о (n-2), то сумма внешних углов будет равна 180 о n о (n-2) = 360 о.

Упражнение 4 Чему равны углы правильного: а) треугольника; б) четырехугольника; в) пятиугольника; г) шестиугольника; д) восьмиугольника; е) десятиугольника; ж) двенадцатиугольника? Ответ: а) 60 о;б) 90 о;в) 108 о;г) 120 о; д) 135 о;е) 144 о;ж) 150 о.

Упражнение 12* Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый n-угольник? Решение. Так как сумма внешних углов выпуклого многоугольника равны 360 о, то у выпуклого многоугольника не может быть более трех тупых углов, следовательно, у него не может быть более трех внутренних острых углов. Ответ. 3.

Класс: 9

Цель: Вывести формулу для нахождения суммы углов выпуклого многоугольника;

• исследовать вопрос о сумме внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине;
• формировать положительную мотивацию к познавательной деятельности;
• развивать логическое мышление;
• развивать внимание, наблюдательность, умение анализировать чертеж;
• формировать умение применять полученные знания для решения задач;
• развивать коммуникативную культуру учащихся.

Ход урока

Великий русский ученый, гордость Земли Русской,

Михайло Васильевич Ломоносов, сказал: “ Неусыпный труд препятствия преодолевает”. Я надеюсь, что сегодня на уроке наш с вами труд поможет нам преодолеть все препятствия.

1. Актуализация опорных знаний. (Фронтальный опрос.)

Презентация. (Слайды 2–4)

– Сформулируйте определение многоугольника, назовите его основные элементы.
– Определение выпуклого многоугольника.
– Приведите примеры известных вам четырехугольников, которые являются выпуклыми многоугольниками.
– Можно ли треугольник считать выпуклым многоугольником?
– Что такое внешний угол выпуклого многоугольника?

2. Постановка проблемы (выход на тему урока).

Устная фронтальная работа.

Найдите сумму углов данных многоугольников (Слайды 5–6)

– треугольника; прямоугольника:
– трапеции; произвольного семиугольника.

В случае затруднения учитель задает вопросы:

– Сформулируйте определение трапеции.
– Назовите основания трапеции.
– Что можно сказать о паре углов А и Д, каким свойством они обладают?
– Можно ли еще назвать на чертеже пару внутренних односторонних улов?
– Смогли вы найти сумму углов семиугольника? Какой возникает вопрос? (Существует ли формула для нахождения суммы углов произвольного многоугольника?)

Итак, ясно, что наших знаний на сегодня не достаточно для решения этой задачи.

Каким образом можно сформулировать тему нашего урока? – Сумма углов выпуклого многоугольника.

3. Решение проблемы . Чтобы ответить на поставленный вопрос, давайте проведем небольшое исследование.

Мы уже знаем теорему о сумме углов треугольника. Можем ли мы ее каким либо образом применить?

– Что для этого надо сделать? (Разбить многоугольник на треугольники.)

– А каким образом многоугольник можно разбить на треугольники? Подумайте над этим, обсудите и предложите свои самые удачные варианты.

Идет работа в группах, каждая группа работает за отдельным компьютером, на котором установлена программа “Geo Gebra”.

По окончании работы учитель выводит на экран результаты работы групп. (Слайд 7)

– Давайте проанализируем предложенные варианты и попробуем выбрать самый оптимальный для нашего исследования.

Определимся с критериями отбора: что мы хотим получить в результате разбиения? (Сумма всех углов построенных треугольников должна быть равна сумме углов многоугольника.)

– Какие варианты можно сразу отбросить? Почему?

(Вариант 1, так как сумма углов всех треугольников не равна сумме углов многоугольника.)

– Какой вариант годиться больше всего? Почему? (Вариант 3.)

Как получили этот вариант? (Провели диагонали из одной вершины многоугольника

чертеж	n – количество вершин многоугольника	Количество диагоналей, проведенных из одной вершины	Количество полученных треугольников
	4
	5
	6
	7
	n

– Попробуем установить зависимость между количеством вершин многоугольника, количеством диагоналей, которые можно провести из одной вершины и количеством получаемых при этом треугольников.

Каждая группа получает таблицу, которую должны заполнить в процессе исследования.

После обсуждения в группах дети формулируют полученные выводы:
из одной вершины n-угольника можно провести n – 3 диагонали, (так как диагональ нельзя провести к самой выбранной вершине и к двум соседним). При этом получим n – 2 треугольника.

Следовательно, сумма углов выпуклого многоугольника равна 180 0 (n-2).

– Вернемся к предложенным вариантам разбиения многоугольника на треугольники.

Можно ли использовать для доказательства этой теоремы вариант, предложенный на рисунке 4?

– Сколько треугольников получается при таком разбиении? (п штук)
– На сколько отличается сумма углов всех треугольников от суммы углов многоугольника? (На 360 0)
– Каким образом можно сосчитать сумму углов многоугольника в этом случае?

(180п – 360 = 180 п – 180х2 = 180(п -2))(С лайд 8)

– Удовлетворяет ли главному требованию, которое мы предъявляли к разбиению, вариант, предложенный на рисунке 2? (Да.)

– Почему не целесообразно его использование для нахождения суммы углов многоугольника? (Тяжелее подсчитать количество получаемых треугольников.)

Ну а теперь вернемся к задаче, которую мы не смогли решить вначале урока.

(Дети устно считают сумму углов семиугольника и еще два аналогичных упражнения.) (Слайд 9 и 10)

4. Применение полученных знаний.

Мы вывели формулу для нахождения суммы внутренних углов выпуклого многоугольника. А теперь поговорим о сумме внешних углов многоугольника, взятых по одной при каждой вершине.

Итак, задача: что больше: сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у выпуклого шестиугольника или у треугольника? (Слайд 11)

Дети высказывают свои предположения. Учитель предлагает провести исследование для решения этого вопроса.

Каждая группа получает задание для самостоятельного решения.

Группа 1.

1) Найдите сумму внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у правильного треугольника.
2) – У треугольника, градусные величины углов которого равны соответственно 70 0 , 80 0 и 30 0 .

Группа 2.

1) Найдите сумму внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у прямоугольника.
2) – У четырехугольника, внутренние углы которого равны соответственно 70 0 , 80 0 и 120 0 и 90 0 .

Группа 3.

1) Найдите сумму внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у правильного шестиугольника.
2) – У шестиугольника, внутренние углы которого равны соответственно 170 0 , 80 0 и 130 0 , 100 0 , 70 0 , 170 0.

После окончания работы дети сообщают свои результаты, учитель заносит их в таблицу и демонстрирует на экране. (Слайд 12)

Итак, какой вывод можно сделать из полученных результатов? (Сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у любого многоугольника равна 360 0.)

А теперь давайте попробуем доказать этот факт для любого н-угольника.

Если возникают трудности, коллективно обсуждается план доказательства:

1. Обозначить внутренние углы многоугольника через α, β, γ и т.д.
2. Выразить через введенные обозначения градусные меры внешних углов
3. Составить выражение для нахождения суммы внешних углов многоугольника
4. Преобразовать полученное выражение, использовать полученную ранее формулу для суммы внутренних углов многоугольника.

Доказательство записывается на доске:

(180 – α) + (180 – β) + (180 – γ) + …= 180 п – (α+ β +γ + …) = 180 п – 180(п – 2) = 360

5. Закрепление изученного материала. Решение задач.

Задача 1. Существует ли выпуклый многоугольник с такими внутренними углами: 45 0 , 68 0 , 73 0 и 56 0 ? Объясните свой ответ.

Проведем доказательство от противного. Если у выпуклого многоугольника четыре острых внутренних угла то среди его внешних углов четырех тупых, откуда следует, что сумма всех внешних углов многоугольника больше 4*90 0 = 360 0 . Имеем противоречие. Утверждение доказано.

В выпуклом многоугольнике три угла по 80 градусов, а остальные – 150 градусов. Сколько углов в выпуклом многоугольнике?

Так как: для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n – 2) , то 180(n – 2)=3*80 + x*150, где 3 угла по 80 градусов нам даны по условию задачи, а количество остальных углов нам пока неизвестно, значит, обозначим их количество через x.

Однако из записи в левой части мы определили количество углов многоугольника как n, поскольку из них величины трех углов мы знаем по условию задачи, то очевидно, что x=n-3.

Таким образом, уравнение будет выглядеть так: 180(n – 2) = 240 + 150(n – 3)

Решаем полученное уравнение

180n – 360 = 240 + 150n – 450

180n – 150n = 240 + 360 – 450

Ответ: 5 вершин.

6. Подведение итогов урока.

Итак, давайте подведем итоги. Сформулируйте свои вопросы для ребят из другой группы по материалам сегодняшнего урока.

Какой вопрос вы считаете наиболее удачным?

Обсудите степень участия каждого члена группы в коллективной работе, назовите самых активных.

Чья работа в группе была самой результативной?

7. Домашнее задание:

1. Задача.

В многоугольнике три угла по 113 градусов, а остальные равны между собой и их градусная мера – целое число. Найти количество вершин многоугольника.

2. п.114 стр.169–171, Погорелов А.В. “Геометрия 7–9”.

Видеоурок 2: Многоугольники. Решение задач

Лекция: Многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника

Многоугольники – это фигуры, которые окружают нас везде – это и форма сот, в которых пчелы хранят свой мед, архитектурные сооружения, а так же многое другое.

Как уже говорилось ранее, многоугольники – это фигуры, у которых больше двух углов. Они состоять из замкнутой ломаной линии.

Причем углы многоугольников могут быть наружные и внутренние. Например, звезда – это фигура, которая имеет 10 углов, при этом некоторые из них выпуклые, а другие вогнутые:

Примеры выпуклых многоугольников:

Обратите внимание, на рисунке показаны правильные многоугольники – именно такие подробно изучаются в школьном курсе математики.

У любого многоугольника количество вершин совпадает с количеством сторон. Так же обратите внимание, что соседними вершинами называются те, которые имеют одну общую сторону. Например, у треугольника все вершины соседние.

Чем больше углов у правильного многоугольника, тем больше их градусная мера. Однако, градусная мера угла выпуклого многоугольника не может быть больше или равной 180 градусам.

Чтобы определить общую градусную меру многоугольника, необходимо воспользоваться формулой.