Если две прямые пересекаются или параллельны, то они лежат в одной плоскости. Однако в пространстве две прямые могут быть расположены так, что они не лежат в одной плоскости, то есть не существует такой плоскости, которая проходит через обе эти прямые. Ясно, что такие прямые не пересекаются и не параллельны.

В пространстве рассматриваются три случая возможного расположения двух прямых. Две прямые в пространстве могут:

1. Лежать в одной плоскости и иметь общую точку;

2. Лежать в одной плоскости и не иметь общих точек;

Не лежать в одной плоскости и, следовательно, не иметь общих точек.

Определение : Две прямые называются пересекающимися, если они имеют общую точку.

Определение : Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или совпадают.

Определение : Две прямые называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны (не лежат в одной плоскости).

Обозначение : a · b

ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ

Теорема : Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые скрещиваются.

Дано : ; ; .

Доказать : a · b

Доказательство : (методом от противного)

Предположим противоположное тому, что требуется доказать, то есть, что данные прямые пересекаются или параллельны: .

Через две пересекающиеся или параллельные прямые можно провести единственную плоскость, следовательно, существует некоторая плоскость, в которой лежат данные прямые: .

По условию теоремы .

По предположению .

Из условия теоремы и из предположения следует, что обе плоскости проходят через прямую «а» и не принадлежащую ей точку М. А так как через прямую и не принадлежащую ей точку можно провести одну и только одну плоскость, следовательно, плоскости совпадают. .

По предположению .

По условию .

Получили противоречие с условием теоремы, следовательно, предположение не верно, а верно то, что требовалось доказать, то есть прямые скрещиваются: a · b.

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Свойства параллельных прямых

Свойство 1. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

рис. 13

a b = K Ka

=> a и b - скрещивающиеся прямые.

Выводы:

Случаи взаимного расположения прямых в пространстве.

Замечания:

Задачи и тесты по теме "Тема 2. "Параллельность прямых. Взаимное расположение прямых в пространстве"."

• Параллельность прямых, прямой и плоскости
• Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс

  Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1

• Параллельность плоскостей - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс
• Признаки параллельности двух прямых. Аксиома параллельных прямых - Параллельные прямые 7 класс

  Уроков: 2 Заданий: 11 Тестов: 1

• Тетраэдр и параллелепипед - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс

  Уроков: 1 Заданий: 8 Тестов: 1

Тема "Аксиомы стереометрии" играет важную роль в развитии пространственных представлений, поэтому старайтесь привлекать больше моделей (картон и спицы), рисунков.

В теме "Параллельность в пространстве" даются знания о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. В данном материале обобщаются известные из планиметрии сведения о параллельности прямых. На примере теоремы о существовании и единственности прямой, параллельной данной, Вы получаете представление о необходимости заново доказать известные из планиметрии факты в тех случаях, когда речь идет о точках и прямых пространства, а не о конкретной плоскости.

Задачи на доказательство решаются во многих случаях по аналогии с доказательством теорем. Для решения задач на вычисление длин отрезков необходимо провести повторение курса планиметрии: равенства и подобия треугольников, определений, свойств и признаков прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.

Две прямые в пространстве могут быть расположены различным образом. Прежде всего, может случиться, что две прямые имеют общую точку. Тогда они заведомо лежат в одной плоскости. Действительно, чтобы построить такую плоскость, достаточно провести ее через три точки: точку А пересечения указанных прямых (рис. 323) и точки С и В, взятые соответственно на прямых . Имея с каждой из прямых по две общие точки, плоскость будет содержать обе прямые.

Пусть теперь данные прямые не имеют общих точек. Это еще не означает, что они параллельны, так как определение параллельности предусматривает, что прямые принадлежат одной плоскости. Чтобы решить вопрос о расположении наших прямых, проведем через одну из них, например , и произвольно взятую точку А на другой прямой плоскость К. Возможны два случая:

1) Построенная плоскость содержит всю вторую прямую (рис. 324). В этом случае прямые тип принадлежат одной плоскости и не пересекаются и потому параллельны.

2) Плоскость X пересекает прямую в точке А. Тогда обе прямые не лежат в одной плоскости. Такие прямые называют скрещивающимися (рис. 325).

Итак, возможны три основных случая взаимного расположения двух прямых.

1. Прямые лежат в одной плоскости и пересекаются.

2. Прямые лежат в одной плоскости и параллельны.

3. Прямые скрещиваются, т. е. не лежат в одной плоскости.

Пример. Из 12 ребер куба можно образовать пар прямых. Из них 24 пары скрещивающихся, 24 пересекающихся и 18 пар параллельных прямых. Читатель убедится в правильности этого по модели или чертежу.

Заметим, что в пространстве сохраняет силу постулат о параллельных прямых:

Через точку вне прямой проходит единственная прямая, параллельная ей.

В самом деле, прямая и заданная вне ее точка определяют плоскость, в которой обязана лежать искомая прямая, параллельная данной, ее единственность вытекает из постулата о параллельных.

Отметим, что два известных предложения планиметрии, относящиеся к свойствам параллельных прямых, потребуют для случая пространства особого обоснования (см. п. 232).

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой; два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны.

По поводу второго из указанных предложений заметим, что на нем основано определение угла между скрещивающимися прямыми: углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проведенными через произвольную точку М. Очевидно, такое определение опирается на предположение независимости угла от выбора точки М (см. п. 232).

Под перпендикуляром, опущенным из данной точки на прямую, понимается прямая, проведенная из данной точки под прямым углом к данной прямой и пересекающая ее. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести единственный перпендикуляр к ней.

Действительно, искомый перпендикуляр должен лежать в плоскости, определяемой данной прямой и точкой, и потому к нему применимы положения планиметрии. Однако из точки, лежащей на прямой, можно провести к ней бесчисленное множество перпендикуляров: по одному в каждой плоскости, проведенной через эту прямую.

Напомним, что углом между скрещивающимися прямыми называется угол между параллельными им прямыми, проходящими через одну точку. Другими словами, если прямые l o и l 1 скрещиваются, то мы должны совершить параллельный перенос прямой l o , так чтобы получилась прямая l o ¢ , пересекающаяся с l 1 , и измерять угол между l o ¢ и l 1 .

Две скрещивающиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр. Его длина называется расстоянием между прямыми.

Пусть две прямые в пространстве заданы своими каноническими уравнениями:

l o: = = , l 1: = = . (35)

Тогда сразу можем сделать вывод, что (a 1 , a 2 , a 3)½½ l o , (b 1 , b 2 , b 3)½½ l 1 , A o (x o , y o , z o)Î l o , A 1 (x 1 , y 1 , z 1)Î l 1 . Составим матрицу

x 1 – x o y 1 – y o z 1 – z o

A = a 1 a 2 a 3 ,

b 1 b 2 b 3

и пусть D = detA .

Теорема 8. 1. Угол между l и p вычисляется по формуле

cos a = = . (36)

2. Прямые l o и l 1 скрещиваются Û D ≠ 0.

3. Прямые l o и l 1 пересекаются Û D = 0 и не коллинеарен .

4. l o ½½ l 1 Û rank A = 2 и ½½ .

5. l o = l 1 Û rank A = 1.

Доказательство. 1. Угол a между прямыми l o и l 1 может быть равен углу b между их направляющими векторами, а может быть смежным с ним. В первом случае

cos a = cos b = ,

а во втором случае

cos a = – cos b =½ cos b½ = .

Эта формула подойдет и к первому случаю. Обратите внимание, что на чертеже изображена не прямая l o , а параллельная ей прямая l o ¢ .

2, 3. Очевидно, что прямые l o и l 1 не параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы и не коллинеарны. При этом, прямые лежат в одной плоскости и пересекаются Û векторы, компланарны Û их смешанное произведение равно нулю: = 0. А в координатах это произведение точности равно D .

Соответственно, если D ≠ 0, то векторы, не компланарны, а значит, прямые l o и l 1 не лежат в одной плоскости Þ они скрещиваются.

4, 5. Если l o ½½ l 1 или l o = l 1 , то ½½ . Но в первом случае вектор неколлинеарен и, и поэтому первая строка в матрице A непропорциональна второй и третей строкам. Значит, rank A = 2.

Во втором случае все три вектора, коллинеарны друг другу, и поэтому, все строки

в матрицеA пропорциональны. Значит, rank A = 1.

И обратно, если || , то прямые l o и l 1 параллельны или совпадают; при этом, вторая и третья строки матрицы A пропорциональны. Если, при этом, rank A = 2, то первая строка матрицы непропорциональна второй и третьей, а значит, вектор неколлинеарен и Û l o || l 1 . Если же rank A = 1, то все строки в матрицеA пропорциональны, а значит, все три вектора, коллинеарны друг другу Û l o = l 1 .

Теорема 9. Пусть две прямые l o и l 1 в пространстве заданы своими каноническими уравнениями (35). Тогда

1. если l o ½½ l 1 , то расстояние между l o и l 1 находится по формуле

h = , (37)

2. если l o и l 1 скрещиваются, то расстояние между ними находится по формуле

h = . (38)

Доказательство. 1. Пусть l o ½½ l 1 . Отложим вектор от точки A o , и на векторах и построим параллелограмм. Тогда его высота h будет расстоянием между l o и l 1 . Площадь этого параллелограмма: S =½ ´½ , а основание равно ½ ½. Поэтому

h = S/ ½ ½ = (37).

2. Пусть l o и l 1 скрещиваются. Проведем через прямую l o плоскость p o ½½ l 1 , а через прямую l 1 проведем плоскость p 1 ½½ l o .

Тогда общий перпендикуляр к l o и l 1 будет общим перпендикуляром к p o и p 1 . Отложим векторы и из точки A o и на векторах, и построим параллелепипед. Тогда его нижнее основание лежит в плоскости p o , а верхнее – в плоскости p 1 . Поэтому высота параллелепипеда будет общим перпендикуляром к p o и p 1 , а ее величина h будет расстоянием между l o и l 1 . Объем параллелепипеда равен ½ ½, а площадь основания – ½´½ Þ

h = V/S осн = (38).

Следствие. Расстояние от точки A 1 (x 1 , y 1 , z 1) до прямой l , заданной уравнением

вычисляется по формуле (37).

Примеры решения задач.

1. Даны координаты вершин A (1,– 6), B (–3, 0), C (6, 9) треугольника ABC . Составить уравнение окружности описанной вокруг треугольника.

Решение. Для того, чтобы составить уравнение окружности нам необходимо знать ее радиус R и координаты центра О (a , b ). Тогда уравнение выглядит так:

(x –a ) 2 +(y –b ) 2 = R 2 .

Центр окружности, описанной вокруг треугольника находится на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника. Находим координаты середин M 1 (x 1 , y 1), и M 3 (x 3 , y 3) сторон BC и AB соответственно:

x 1 = = = , y 1 = = = , M 1 .

Аналогично M 3 (–1,–3).

Пусть l 3 – прямая, являющаяся серединным перпендикуляром к AB , а l 1 – к BC . Тогда = (– 4, 6) ^ l 3 и l 3 проходит через M 3 . Поэтому ее уравнение:

– 4(x +1) + 6(y +3) = 0.

Аналогично = (9, 9) ^ l 3 . Поэтому уравнение l 1:

9(x -) + 9(y -) = 0

x + y – 6 = 0.

Имеем О = l 1 I l 3 . Поэтому, чтобы найти координаты точки О необходимо решить совместно уравнения l 1 и l 3:

x + y – 6 = 0 ,

– 4x + 6y +14 = 0.

Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 4:

x + y – 6 = 0,

10y – 10 = 0.

Отсюда y = 1, x = 5, O (5, 1).

Радиус равен расстоянию от О до любой из вершин треугольника. Находим:

R =½½= = .

Значит уравнение окружности:

(x – 5) 2 + (y –1) 2 = 65.

2. В прямоугольном треугольнике ABC известныуравнение одного из катетов 3x – 2y + 5 = 0, координаты вершины C (–5,–5) и координаты середины O (– 3/2,–3) гипотенузы AB. Найти координаты

вершин A, B и координаты точки E, симметричной O относительно стороны BC. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника ABC .

Решение. Пусть катет, уравнение которого нам дано, – это СВ . Он задан общим уравнением вида

ax + by + c = 0.

В данном уравнении геометрический смысл

коэффициентов a и b – это координаты вектора нормали (a , b ). Поэтому (3,-2)^ВС .

Составим уравнение перпендикуляра l = OD к стороне СВ и найдем координаты точки D . Вектор будет параллелен OD , т.е. он является направляющим вектором этой прямой. Кроме этого, нам известны координаты точки О на этой прямой. Составляем параметрическое уравнение l :

x = – + 3t , (*)

y = – 3 - 2t .

Имеем D = l I BC . Поэтому, для того, чтобы найти координаты этой точки мы должны решить совместно уравнения l и BC . Подставляем x и y из уравнения l в уравнение BC :

3(– + 3t ) –2(–3 -2t )+5 = 0,

– + 9t +6 +4t +5 = 0,

13t = –, t D = – .

Подставляем найденное t в уравнение l и находим координаты точки D (–3,–2). Для того, чтобы найти координаты E вспомним физический смысл параметрического уравнения прямой: оно задает прямолинейное и равномерное движение. В нашем случае, начальная точка – это О ОE вдвое длиннее отрезка ОD . Если за время t D = – мы прошли путь от О до D , то путь от О до E мы пройдем за время t E = 2t D = –1. Подставляя это значение в (*), находим E (– 4,5;–1).

Точка D делит отрезок BC пополам. Поэтому

x D = , y D = .

Отсюда находим

x B = 2x D – x C = –1, y B = 2y D – y C =1, B (–1, 1).

Аналогично, используя тот факт, что О – середина АВ , находим координаты точки А (-2,-7). Возможен другой путь решения этой задачи: достроить ΔABC до параллелограмма.

Общие формулы деления отрезка в данном отношении выглядят так:

x С = , y D = ,

если точка С делит отрезок АВ в отношении l 1:l 2 , т.е. ½AC ½:½BC ½=l 1:l 2 .

Известно, что точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины. В нашем случае Р делит СО в отношении 2:1. Поэтому

x P = = = – ,

y P = = = – .

Ответ: А (–2,–7), B (–1, 1), P .

3. Даны координаты вершин A (– 4,–2), B (9, 7), C (2,– 4) треугольника ABC. Составить общее уравнение биссектрисы AD и найти координаты точки D.

Решение. Из курса элементарной математики известно, что = . Вычисляем

(13, 9), (6,–2);

½½= = 5, ½½= = 2 .

x D = = = 4,

y D = = = – , D (4,–).

Составляем уравнение прямой, проходящей через точки A и D . Для неё вектор является направляющим. Но, в качестве направляющего мы можем взять любой вектор, коллинеарный. Например, удобно будет взять = , (7, 1). Тогда уравнение

AD : = y + 2 Û x – 7y – 10 = 0.

Ответ: D (4,–), AD : x – 7y – 10 = 0.

4. Даны уравнения двух медиан x – y – 3 = 0, 5x + 4y – 9 = 0 треугольника ABC и координаты вершины A (– 1, 2). Составьте уравнение третьей медианы .

Решение. Сначала мы убедимся, что точка A не принадлежит данным медианам. Медианы треугольника пересекаются в одной точке M . Поэтому они входят в пучок прямых, проходящих через M . Составим уравнение этого пучка:

l(x – y – 3) + m(5x + 4y – 9) = 0.

Коэффициенты l и m определяются с точностью до пропорциональности; поэтому можем считать, что m = 1 (если m = 0 то уравнение пучка задает только первую медиану, а искомая прямая не совпадает с ней). Получаем уравнение пучка:

(l + 5) x + (–l + 4) y – 3l – 9 = 0.

Нам из этого пучка надо выбрать прямую, проходящую через точку A (– 1, 2). Подставим её координаты в уравнение пучка:

– (l + 5) + 2(–l + 4) – 3l – 9 = 0,

– 6l – 6 = 0, l = –1.

Найденное значение l подставляем в уравнение пучка и получаем искомое уравнение медианы:

4x + 5y – 6 = 0.

Ответ: 4x + 5y – 6 = 0.

5. Даны координаты вершин треугольной пирамиды SABC : A (–3, 7, 1), B (–1, 9, 2), C (–3, 6, 6) S (6,–5,–2). Составить уравнение плоскости основания ABC и уравнение высоты SD. Найти координаты точки D и точки S ¢, симметричной S относительно плоскости основания.

Решение. Найдем координаты двух векторов параллельных плоскости основания p = ABC :

= (2, 1, 1), = (0,–1, 5).

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку A (x o , y o , z o) параллельно двум неколлинеарным векторам (a 1 , a 2 , a 3), (b 1 , b 2 , b 3) имеет вид

x – x o y – y o z – z o

a 1 a 2 a 3 = 0.

b 1 b 2 b 3

Подставляем в это уравнение наши данные:

x + 3 y – 7 z – 1

2 2 1 = 0.

0 –1 5

Раскрываем определитель:

Из уравнения плоскости находим, что вектор (11,–10,–2) является вектором нормали к плоскости. Этот же вектор будет направляющим для прямой h = SD . Параметрическое уравнение прямой, проходящей через данную точку A (x o , y o , z o) с направляющим вектором (a 1 , a 2 , a 3) имеет вид

x = x o + a 1 t ,

y = y o + a 2 t ,

z = z o + a 3 t .

В нашем случае получаем уравнение:

x = 6 + 11t ,

h : y = –5 – 10t , (*)

z = –2 – 2t .

Найдем основание перпендикуляра. Это точка пересечения прямой с плоскостью p. Для этого мы должны решить совместно уравнения и p. Подставляем из уравнения l в уравнение π:

11(6 + 11t ) – 10(–5 – 10 t ) – 2(–2 – 2t ) + 105 = 0,

66 + 121 t + 50 + 100 t + 4 + 4 t + 105 = 0,

225 y = –225, t = –1.

Найденное t подставляем в уравнение l и находим координаты D (–5, 5, 0).

Вспомним физический смысл параметрического уравнения прямой: оно задает прямолинейное и равномерное движение. В нашем случае, начальная точка – это S , вектор скорости – это. Отрезок SS ¢вдвое длиннее отрезка SD и на его прохождение понадобится вдвое больше времени. Если за время t D = – 1 мы прошли путь от S до D , то путь от S до S ¢ мы пройдем за время t ¢= 2t D = –2. Подставляя это значение в (*), находим S ¢(–16, 15; 2).

Ответ: ABC : 11x – 10y – 2z +105 = 0, D (–5, 5, 0), S ¢(–16, 15; 2),

x = 6 + 11t ,

SD : y = –5 – 10t ,

z = –2 – 2t .

6. Даны уравнения прямой l плоскости p :

Убедиться, что l и p пересекаются и составить уравнение проекции l ¢ прямой l на плоскость. Найти угол между l и p .

Решение. Из уравнения прямой находим ее направляющий вектор: (1,–1, 2) и точку на этой прямой: A (6, 0, 2) , а из уравненияплоскости – векторнормали к плоскости:

(5,–2, 4). Очевидно, что если l ½½ p или , то ^ т.е. · = 0. Проверим:

· = 5·1 – 2·(–1) + 4·2 = 15 ¹ 0.

Значит, l пересекает π. Угол между l и pнаходим по формуле:

sin a = ;

|| = = , || = = = 3 .

sin a = = .

Пусть A o – проекция точки A на плоскость, а B = l Iπ . Тогда l ¢= A o B – это проекция прямой . Найдем сначала координаты точки B . Для этого перепишем уравнение прямой l в параметрическом виде:

x = 6 + t ,

l : y = – t ,

z = 2 + 2t ,

и решим его совместно с уравнением плоскости π . Подставляем из уравнения l в уравнение π :

5(6 + t ) – 2(– t ) + 4(2 + 2t ) + 7 = 0,

30 + 5t + 2t + 8 + 8t + 7 = 0,

15t = – 45, t = – 3.

Подставляя это t в уравнение l находим координаты B (3, 3, 4). Составим уравнение перпендикуляра h = AA o . Для прямой h вектор служит направляющим. Поэтому h задается уравнением

x = 6 + 5t ,

h : y = –2 t ,

z = 2 + 4t ,

Решаем его совместно с уравнением плоскости π, чтобы найти координаты точки A o:

5(6 + 5t ) – 2(–2t ) + 4(2 + 4t ) + 7 = 0,

30 + 25t + 4t + 8 + 16t + 7 = 0,

45t = – 45, t = – 1.

Подставляем это t в уравнение h и находим A o (1, 2,–2). Находим направляющий вектор прямой l" : A o B (2, 1,–2) и получаем ее уравнение:

.

7. Прямая l в пространстве задана системой уравнений

2x +2y – z – 1=0,

4x – 8y + z – 5= 0,

и даны координаты точки A (–5,6,1). Найти координаты точки В, симметричной А относительно прямой l .

Решение. Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую l . Сначала мы найдем координаты точки P . Для этого мы составим уравнение плоскости p, проходящей через точку A перпендикулярно плоскостям p 1 и p 2 . Находим векторы нормали к этим плоскостям: (2, 2,–1), (4,–8, 1). Для плоскости p они будут направляющими. Поэтому уравнение этой плоскости:

x + 5 y – 6 z – 1

2 2 –1 = 0.

4 –8 1

– 6(x + 5) – 6(y – 6) –24(z – 1) = 0 .

Прежде чем раскрывать скобки обязательно

Сначала делим все уравнение на – 6:

x + 5 + y – 6 + 4(z – 1) = 0,

x+ y+ 4z – 5 = 0.

Теперь P – точка пересечения плоскостей p , p 1 и p 2 . Для того, чтобы найти ее координаты мы должны решить систему, составленную из уравнений этих плоскостей:

x + y + 4z – 5 = 0,

4x – 8y + z – 5 = 0,

2x + 2y – z – 1 = 0.

Решая ее по методу Гаусса, находим P (1,0,1). Далее, используя тот факт, что P – середина AB мы находим координаты точки B (7,–6,1).

Точку P можно найти другим способом, как ближайшую к A точку прямой l . Для этого необходимо составить параметрическое уравнение этой прямой. Как это делается, см. задачу 10 . Дальнейшие действия см. в задаче 8 .

8. В DABC с вершинами A (9, 5, 1), B (–3, 8, 4), C (9,–13,–8) проведена высота AD. Найти координаты точки D , составить уравнение прямой AD , вычислить h =½AD ½ и проверить h, вычислив S D ABC с помощью векторного произведения .

Решение. Очевидно, что точку D можно найти так: D = π I BC , где π – это плоскость, которая проходит через точку A перпендикулярно стороне BC . Для этой плоскости служит вектором нормали. Находим (12,–21,–12). Координаты этого вектора нацело делятся на 3. Поэтому в качестве вектора нормали к p можем взять = , (4,–7,– 4). Уравнение плоскости π, проходящей через точку A o (x o , y o , z o) перпендикулярно вектору (a , b , c ), имеет вид:

a (x – x o) + b (y – y o) + c (z – z o) = 0.

В нашем случае:

4(x – 9) - 7(y – 5) - 4(z – 1) = 0,

4x - 7y - 4z + 3 = 0,

Составим уравнение прямой BC . Для нее вектор будет направляющим:

x = –3 + 4t ,

BC : y = 8 – 7t , (*)

z = 4 – 4t ,

Поскольку D = π I BC , для нахождения координат точки D нужно решить совместно уравнения π и BC . Подставляем из уравнения BC в уравнение π:

4(–3 + 4t ) – 7(8 – 7t ) – 4(4 – 4t ) + 3 = 0,

–12 + 16 t – 56 + 49t – 16 + 16 t + 3 = 0,

81t = 81, t = 1.

Подставляем это t в уравнение прямой BC и находим D (1, 1, 0). Далее, зная координаты точек A и D , составляем уравнение прямой AD вычисляем по формуле расстояния между точками:

i j k i j k

´ = –12 3 3 = –27· – 4 1 1 = –27(–i + 4j – 8k ) .

0 –18 –9 0 2 1

(В процессе вычисления мы воспользовались свойством определителя: общий множитель элементов одной строки можно выносить за знак определителя).

S ΔABC = · 27 = .

С другой стороны S ΔABC = | |·h . Отсюда h = . Находим

Поэтому h = 9. Это совпадает с ранее найденным ответом.

Точку D можно найти, как ближайшую к A точку прямой BC , используя методы дифференциального исчисления. Пусть M (t ) – произвольная точка прямой BC ; её координаты определяются системой (*):

M (–3 + 4t , 8 – 7t , 4 – 4t ).

Находим квадрат расстояние от точки A до M (t ):

h 2 (t ) = (9 + 3 – 4t ) 2 + (5 – 8 + 7t ) 2 + (1 – 4 + 4t ) 2

= (12 – 4t ) 2 + (–3 + 7t ) 2 + (–3 + 4t ) 2 =

144 – 96t + 16t 2 + 9 – 42t + 49t 2 + 9 – 24t + 16t 2 =

81t 2 – 162t + 162.

Найдем наименьшее значение функции h 2 (t ) с помощью производной:

h 2 (t ) = 162t – 162; h 2 (t ) = 0 Þ t = 1.

Подставляем это значение t в уравнение прямой BC и находим, что D (1, 1, 0) является ближайшей к A точкой на прямой BC .

9. Исследовать взаимное расположение следующих пар плоскостей (пересекаются, параллельны, совпадают ). Если плоскости пересекаются, то найдите угол между ними, если параллельны – расстояние между ними .

а). p 1: 2y + z + 5 = 0, p 2: 5x + 4y – 2z +11 = 0.

Решение. Если плоскости p 1 и p 2 заданы своими общими уравнениями

a 1 x + b 1 y + c 1 z +d 1 = 0, a 2 x + b 2 y + c 2 z +d 2 = 0,

p 1 ½½ p 2 Û = = ¹ ,

p 1 = p 2 Û = = = .

В нашем случае ¹ ¹ , поэтому плоскости не параллельны и не совпадают. Значит, они пересекаются. Угол между плоскостями вычисляется по формуле

cos a = ,

где и – векторы нормали к этим плоскостям. В нашем случае

(0, 2, 1), (5, 4,–2), · = 0·5 + 2· 4 + 1·(–2);

|| = = , || = = 3 .

Значит, cos a = = .

Ответ: a = arccos .

б) p 1: x – y + 2z + 8 = 0,

p 2: 2x – y + 4z –12 = 0.

Решение. Проверяем на параллельность или совпадение:

Значит, p 1 ½½ p 2 но p 1 ¹ p 2 . Расстояние от точки A (x , y , z ) до плоскости, заданной уравнением находится по формуле

h = .

Выберем точку А Îp 1 . Для этого надо подобрать любые три координаты, удовлетворяющие уравнению p 1 . В нашем случае, самое простое: A o (0, 8, 0). Расстояние от A o до p 2 и будет расстоянием между p 1 и p 2:

h = = .

10. Составить уравнение плоскости p, которая делит пополам тот из двугранных углов между плоскостями

p 1: 2x – y + 2= 0, p 2: 5x + 4y – 2z –14 = 0,

который содержит данную точку А (0, 3,–2). Составить параметрическое уравнение прямой l = p 1 Ip 2 ;

Решение. Если точка лежит на плоскости p, которая делит двугранный угол пополам, то расстояния h 1 и h 2 от этой точки до p 1 и до p 2 равны.

Находим эти расстояния и приравниваем их:

Модули мы можем раскрывать с одинаковыми или разными знаками. Поэтому можем получить 2 ответа, т.к. p 1 и p 2 образуют два двугранных угла. Но в условии требуется найти уравнение плоскости, которая делит пополам тот угол, в котором находится точка А . Значит координаты точки М при подстановке в левые части уравнений данных плоскостей p 1 и должны такие же знаки, что и координаты точки А . Легко проверить, что эти знаки для p 1 и «+» для p 2 . Поэтому мы раскрываем первый модуль со знаком «–», а второй – со знаком «+»:

3(-2x + y - 2) = 5x + 4y – 2z –14,

p:11x + y - 2z - 14 = 0.

Для того, чтобы составить уравнение прямой l , нам нужно найти направляющий вектор этой прямой и точку на ней.

Из уравнений p 1 и p 2 находим координаты векторов нормали к этим плоскостям: (2,–1, 0), (5, 4,–2). Направляющий вектор прямой l перпендикулярен и. Такой можно найти с помощью векторного произведения (по определению, если = ´ , то ^ и ^):

= ´ = 2 –1 0 = 2i + 4j + 13k .

Для того, чтобы найти координаты одной точки на прямой, мы должны найти частное решение системы уравнений

Поскольку уравнений два, а неизвестных три, то система имеет бесконечное количество решений. Нам достаточно подобрать одно. Проще всего положить x = 0 и тогда находим

Þ z = – 3, .

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку B (x o , y o , z o) параллельно вектору (a 1 , a 2 , a 3), имеет вид:

В нашем случае имеем уравнение:

l : = = .

Ответ: p: 11x + y – 2z = 0, l : = = .

11. Даны уравнения двух прямых в пространстве :

x = –1 – t , x = –3 + 2t ¢,

l 1: y = 6 + 2 t , l 2: y = –2 – 3t ¢,

z = 5 + 2t , z = 3 – 2t ¢.

Доказать, что данные прямые скрещиваются и составить уравнение их общего перпендикуляра.

Решение. Из уравнений прямых находим координаты их направляющих векторов: (–1, 2, 2), (2,–3,–2) и точек l 1 , а значит, является направляющим вектором общего перпендикуляра к этим прямым. Мы уже нашли его коор-динаты: (2, 2,–1). Для того, чтобы

составить уравнение h нам нужно найти координаты одной точки на этой прямой. Для этого мы составим уравнение плоскости π, проходящей через l 1 и h . Для нее векторы, будут направляющими, и A Îp.

x – 1 y – 2 z – 1

– 6(x – 1) + 3(y – 2) – 6(z – 1) = 0.

– 2(x – 1) + (y – 2) – 2(z – 1) = 0.

p: –2x + y – 2z + 2 = 0.

Находим точку пересечения l 2 и π . Для этого из уравнения l 2 подставляем в уравнение π:

–2(–3 + 2t ¢) –2 + 3t ¢ – 2(3 – 2t ¢) + 2 = 0,

6 – 4t ¢ – 2 – 3t ¢ – 6 – 4t ¢ + 2 = 0,

–7t ¢= 0, t ¢= 0.

Подставляем найденное t ¢ в

В этой статье мы разберемся с понятием прямой линии в трехмерном пространстве, рассмотрим варианты взаимного расположения прямых и остановимся на основных способах задания прямой в пространстве. Для лучшего представления приведем графические иллюстрации.

Навигация по странице.

Прямая в пространстве – понятие.

После того как мы дали определение параллельных прямых в пространстве, следует сказать о направляющих векторах прямой линии в силу их важности. Любой ненулевой вектор, лежащий на этой прямой или на прямой, которая параллельна данной, будем называть направляющим вектором прямой. Направляющий вектор прямой очень часто используется при решении задач, связанных с прямой линией в пространстве.

Наконец, две прямые в трехмерном пространстве могут быть скрещивающимися. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Такое взаимное расположение двух прямых в пространстве приводит нас к понятию угла между скрещивающимися прямыми .

Способы задания прямой в пространстве.

Существует несколько способов, позволяющих однозначно определить прямую линию в пространстве. Перечислим основные из них.

Мы знаем из аксиомы, что через две точки проходит прямая, причем только одна. Таким образом, если мы отметим две точки в пространстве, то это позволит однозначно определить прямую линию, проходящую через них.

Если в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат и задана прямая с помощью указания координат двух ее точек, то мы имеем возможность составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки .

Второй способ задания прямой в пространстве основан на теореме: через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и причем только одна.

Таким образом, если задать прямую (или отрезок этой прямой) и не лежащую на ней точку, то мы однозначно определим прямую, параллельную заданной и проходящей через данную точку.

Можно указать точку, через которую проходит прямая и ее направляющий вектор. Это также позволит однозначно определить прямую.

Если прямая задана таким способом относительно зафиксированной прямоугольной системы координат, то мы можем сразу записать ее канонические уравнения прямой в пространстве и параметрические уравнения прямой в пространстве .

Следующий способ задания прямой в пространстве основан на аксиоме стереометрии: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Таким образом, задав две пересекающиеся плоскости, мы однозначно определим прямую в пространстве.

Еще один способ задания прямой в пространстве следует из теоремы (ее доказательство Вы можете найти в книгах, указанных в конце этой статьи): если задана плоскость и не лежащая в ней точка, то существует единственная прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к заданной плоскости.

Таким образом, чтобы определить прямую, можно задать плоскость, которой искомая прямая перпендикулярна, и точку, через которую эта прямая проходит.

Если прямая задана таким способом относительно введенной прямоугольной системы координат, то будет полезно владеть материалом статьи уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости .

Список литературы.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
• Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта , включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.