Определение 8.3 (1).

Длина |z| вектора z = (x,y) называется модулем комплексного числа z = х + yi

Поскольку длина каждой стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других его сторон, а абсолютная величина разности длин двух сторон треугольника не меньше длины третьей стороны, то для любых двух комплексных чисел z 1 и z 2 имеют место неравенства

Определение 8.3 (2).

Аргумент комплексного числа. Если φ - угол, образованный ненулевым вектором z с действительной осью, то всякий угол вида (φ + 2πn, где n - целое число, и угол только такого вида, также будет углом, образованным вектором z с действительной осью.

Множество всех углов, которые образует ненулевой вектор z = = (x, у) с действительной осью, называется аргументом комплексного числа z = х + уi и обозначается arg z. Каждый элемент этого множества называется значением аргумента числа z (рис. 8.3(1)).

Рис. 8.3 (1).

Поскольку ненулевой вектор плоскости однозначно определяется своей длиной и углом, который он образует с осью ж, то два комплексных числа, отличные от нуля, равны тогда и только тогда, когда равны их абсолютные величины и аргументы.

Если на значения аргумента φ числа z наложить, например, условие 0≤φ<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.

Определение 8.3.(3)

Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа z = х + уi ≠ 0 выражаются через его модуль r= |z| и аргумент φ следующим образом (из определения синуса и косинуса):

Правая часть этого равенства называется тригонометрической формой записи комплексного числа z. Мы будем ее употреблять и для z = 0; в этом случае r = 0, а φ может принимать любое значение - аргумент числа 0 не определен. Итак, всякое комплексное число можно записать в тригонометрической форме.

Ясно также, что если комплексное число z записано в виде

то число r является его модулем, так как

А φ одним из значений его аргумента

Тригонометрическую форму записи комплексных чисел бывает удобно использовать при перемножении комплексных чисел, в частности, она позволяет выяснить геометрический смысл произведения комплексных чисел.

Найдем формулы для умножения и деления комплексных чисел при тригонометрической форме их записи. Если

то по правилу умножения комплексных чисел (используя формулы синуса и косинуса суммы)

Таким образом, при умножении комплексных чисел их абсолютные величины перемножаются, а аргументы складываются:

Применив эту формулу последовательно к n комплексным числам, получим

Если все n чисел равны, получим

Откуда для

выполняется

Отсюда для комплексного числа, абсолютная величина которого равна 1 (следовательно, оно имеет вид

Это равенство носит название формулы Муавра

Иначе говоря, при делении комплексных чисел их модули делятся,

а аргументы вычитаются.

Примеры 8.3 (1).

Изобразить на комплексной плоскости С множества точек, удовлетворяющих следующим условиям:

Комплексным числом называют число вида z =x + i * y, где x и y – действительные числа , а i = мнимая единица (т.е. число, квадрат которого равен -1). Чтобы определить понятие аргумента комплексного числа , необходимо рассмотреть комплексное число на комплексной плоскости в полярной системе координат.

Инструкция

Плоскость, на которой представляют комплексные числа , называется комплексной. На этой плоскости горизонтальную ось занимают вещественные числа (x), а вертикальную ось – мнимые числа (y). На такой плоскости число задается двумя координатами z = {x, y}. В полярной системе координат координатами точки являются модуль и аргумент. Модулем называют расстояние |z| от точки до начала координат. Аргументом называют угол между вектором, соединяющим точку и начало координат и горизонтальной осью системы координат (см. рисунок).

Из рисунка видно, что модуль комплексного числа z = x + i * y находится по теореме Пифагора: |z| = ? (x^2 + y^2). Далее аргумент числа z находится как острый угол треугольника – через значения тригонометрических функций sin, cos, tg:sin = y / ? (x^2 + y^2),
cos = x / ? (x^2 + y^2),
tg = y / x.

Например, пусть дано число z = 5 * (1 + ?3 * i). Первым делом выделите вещественную и мнимую части: z = 5 +5 * ?3 * i. Получается, что вещественная часть x = 5, а мнимая часть y = 5 * ?3. Вычислите модуль числа : |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Далее найдите синус угла: sin = 5 / 10 = 1 / 2. Отсюда получается аргумент числа z равен 30°.

Пример 2. Пусть дано число z = 5 * i. По рисунку видно, что угол = 90°. Проверьте это значение по формуле, приведенной выше. Запишите координаты данного числа на комплексной плоскости: z = {0, 5}. Модуль числа |z| = 5. Тангенс угла tg = 5 / 5 = 1. Отсюда следует, что = 90°.

Пример 3. Пусть необходимо найти аргумент суммы двух комплексных чисел z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. По правилам сложения складываете эти два комплексных числа : z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Далее по приведенной выше схеме рассчитываете аргумент: tg = 9 / 3 = 3.

Который изображает заданное комплексное число $z=a+bi$, называется модулем данного комплексного числа.

Модуль заданного комплексного числа вычисляется по следующей формуле:

Пример 1

Вычислить модуль заданных комплексных чисел $z_{1} =13,\, \, z_{2} =4i,\, \, \, z_{3} =4+3i$.

Модуль комплексного числа $z=a+bi$ вычислим по формуле: $r=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $.

Для исходного комплексного числа $z_{1} =13$ получим $r_{1} =|z_{1} |=|13+0i|=\sqrt{13^{2} +0^{2} } =\sqrt{169} =13$

Для исходного комплексного числа $\, z_{2} =4i$ получим $r_{2} =|z_{2} |=|0+4i|=\sqrt{0^{2} +4^{2} } =\sqrt{16} =4$

Для исходного комплексного числа $\, z_{3} =4+3i$ получим $r_{3} =|z_{3} |=|4+3i|=\sqrt{4^{2} +3^{2} } =\sqrt{16+9} =\sqrt{25} =5$

Определение 2

Угол $\varphi $, образованный положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором $\overrightarrow{OM} $, который соответствует заданному комплексному числу $z=a+bi$, называется аргументом данного числа и обозначается $\arg z$.

Примечание 1

Модуль и аргумент заданного комплексного числа в явном виде используются при представлении комплексного числа в тригонометрической или показательной форме:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - тригонометрическая форма;
• $z=r\cdot e^{i\varphi } $ - показательная форма.

Пример 2

Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах, заданное следующими данными: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac{3\pi }{4} $.

1) Подставим данные $r=3;\varphi =\pi $ в соответствующие формулы и получим:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - тригонометрическая форма

$z=3\cdot e^{i\pi } $ - показательная форма.

2) Подставим данные $r=13;\varphi =\frac{3\pi }{4} $ в соответствующие формулы и получим:

$z=13\cdot (\cos \frac{3\pi }{4} +i\sin \frac{3\pi }{4})$ - тригонометрическая форма

$z=13\cdot e^{i\frac{3\pi }{4} } $ - показательная форма.

Пример 3

Определить модуль и аргумент заданных комплексных чисел:

1) $z=\sqrt{2} \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac{5}{3} \cdot (\cos \frac{2\pi }{3} +i\sin \frac{2\pi }{3})$; 3) $z=\sqrt{13} \cdot e^{i\frac{3\pi }{4} } $; 4) $z=13\cdot e^{i\pi } $.

Модуль и аргумент найдем, используя формулы записи заданного комплексного числа в тригонометрической и показательной формах соответственно

\ \

1) Для исходного комплексного числа $z=\sqrt{2} \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ получим $r=\sqrt{2} ;\varphi =2\pi $.

2) Для исходного комплексного числа $z=\frac{5}{3} \cdot (\cos \frac{2\pi }{3} +i\sin \frac{2\pi }{3})$ получим $r=\frac{5}{3} ;\varphi =\frac{2\pi }{3} $.

3) Для исходного комплексного числа $z=\sqrt{13} \cdot e^{i\frac{3\pi }{4} } $ получим $r=\sqrt{13} ;\varphi =\frac{3\pi }{4} $.

4) Для исходного комплексного числа $z=13\cdot e^{i\pi } $ получим $r=13;\varphi =\pi $.

Аргумент $\varphi $ заданного комплексного числа $z=a+bi$ можно вычислить, используя следующие формулы:

\[\varphi =tg\frac{b}{a} ;\cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } } ;\sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } } .\]

На практике для вычисления значения аргумента заданного комплексного числа $z=a+bi$ обычно пользуются формулой:

$\varphi =\arg z=\left\{\begin{array}{c} {arctg\frac{b}{a} ,a\ge 0} \\ {arctg\frac{b}{a} +\pi ,a

или решают систему уравнений

$\left\{\begin{array}{c} {\cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } } } \\ {\sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } } } \end{array}\right. $. (**)

Пример 4

Вычислить аргумент заданных комплексных чисел: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Так как $z=3$, то $a=3,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac{0}{3} =arctg0=0.\]

Так как $z=4i$, то $a=0,b=4$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac{4}{0} =arctg(\infty)=\frac{\pi }{2} .\]

Так как $z=1+i$, то $a=1,b=1$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, решая систему (**):

\[\left\{\begin{array}{c} {\cos \varphi =\frac{1}{\sqrt{1^{2} +1^{2} } } =\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} } \\ {\sin \varphi =\frac{1}{\sqrt{1^{2} +1^{2} } } =\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right. .\]

Из курса тригонометрии известно, что $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac{\sqrt{2} }{2} $ для угла, соответствующего первой координатной четверти и равного $\varphi =\frac{\pi }{4} $.

Так как $z=-5$, то $a=-5,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac{0}{-5} +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Так как $z=-2i$, то $a=0,b=-2$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac{-2}{0} =arctg(-\infty)=\frac{3\pi }{2} .\]

Примечание 2

Число $z_{3} $ изображено точкой $(0;1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $\varphi =\frac{\pi }{2} $ по примечанию 3.

Число $z_{4} $ изображено точкой $(0;-1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $\varphi =\frac{3\pi }{2} $ по примечанию 3.

Число $z_{5} $ изображено точкой $(2;2)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна $\sqrt{2^{2} +2^{2} } =\sqrt{4+4} =\sqrt{8} =2\sqrt{2} $, т.е. $r=2\sqrt{2} $, а аргумент $\varphi =\frac{\pi }{4} $ по свойству прямоугольного треугольника.

Комплексным числом называют число вида z =x + i * y, где x и y – действительные числа , а i = мнимая единица (т.е. число, квадрат которого равен -1). Дабы определить представление аргумента комплексного числа , нужно разглядеть комплексное число на комплексной плоскости в полярной системе координат.

Инструкция

1. Плоскость, на которой представляют комплексные числа , именуется комплексной. На этой плоскости горизонтальную ось занимают вещественные числа (x), а вертикальную ось – мнимые числа (y). На такой плоскости число задается двумя координатами z = {x, y}. В полярной системе координат координатами точки являются модуль и довод. Модулем называют расстояние |z| от точки до начала координат. Доводом называют угол? между вектором, соединяющим точку и предисловие координат и горизонтальной осью системы координат (см. рисунок).

2. Из рисунка видно, что модуль комплексного числа z = x + i * y находится по теореме Пифагора: |z| = ? (x^2 + y^2). Дальше довод числа z находится как острый угол треугольника – через значения тригонометрических функций sin, cos, tg:sin ? = y / ? (x^2 + y^2),cos ? = x / ? (x^2 + y^2),tg ? = y / x.

3. Скажем, пускай дано число z = 5 * (1 + ?3 * i). Первым делом выделите вещественную и мнимую части: z = 5 +5 * ?3 * i. Получается, что вещественная часть x = 5, а мнимая часть y = 5 * ?3. Вычислите модуль числа : |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Дальше обнаружьте синус угла?: sin ? = 5 / 10 = 1 / 2. Отсель получается довод числа z равен 30°.

4. Пример 2. Пускай дано число z = 5 * i. По рисунку видно, что угол? = 90°. Проверьте это значение по формуле, приведенной выше. Запишите координаты данного числа на комплексной плоскости: z = {0, 5}. Модуль числа |z| = 5. Тангенс угла tg ? = 5 / 5 = 1. Отсель следует, что? = 90°.

5. Пример 3. Пускай нужно обнаружить довод суммы 2-х комплексных чисел z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. По правилам сложения складываете эти два комплексных числа : z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Дальше по приведенной выше схеме рассчитываете довод: tg ? = 9 / 3 = 3.

Обратите внимание!
Если число z = 0, то значение довода для него не определено.

Полезный совет
Значение довода комплексного числа определяется с точностью до 2 * ? * k, где k – всякое целое число. Значение довода? такое, что –?