Докажем правило дифференцирования частного двух функций (дроби) . Стоит оговориться, что g(x) не обращается в ноль ни при каких x из промежутка X .
По определению производной
Пример.
Выполнить дифференцирование функции .
Решение.
Исходная функция представляет собой отношение двух выражений sinx
и 2x+1
. Применим правило дифференцирования дроби:
Не обойтись без правил дифференцирования суммы и вынесения произвольной постоянной за знак производной:
В заключении, давайте соберем все правила в одном примере.
Пример.
Найти производную функции , где a – положительное действительное число.
Решение.
А теперь по порядку.
Первое слагаемое .
Второе слагаемое
Третье слагаемое
Собираем все вместе:
4.Вопрос.Производные Основных элементарных функций.
Задание. Найти производную функции
Решение. Используем правила дифференцирования и таблицу производных:
Ответ.
5.Вопрос.Производная сложной функции примеры
Все примеры этого раздела опираются на таблицу производных и теорему о производной сложной функции, формулировка которой такова:
Пусть 1) функция u=φ(x) имеет в некоторой точке x0 производную u′x=φ′(x0), 2) функция y=f(u) имеет в соответствующей точке u0=φ(x0) производную y′u=f′(u). Тогда сложная функция y=f(φ(x)) в упомянутой точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций f(u) и φ(x):
(f(φ(x)))′=f′u(φ(x0))⋅φ′(x0)
или, в более короткой записи: y′x=y′u⋅u′x.
В примерах этого раздела все функции имеют вид y=f(x) (т.е. рассматриваем лишь функции одной переменной x). Соответственно, во всех примерах производная y′ берётся по переменной x. Чтобы подчеркнуть то, что производная берётся по переменной x, часто вместо y′ пишут y′x.
В примерах №1, №2 и №3 изложен подробный процесс нахождения производной сложных функций. Пример №4 предназначен для более полного понимания таблицы производных и с ним имеет смысл ознакомиться.
Желательно после изучения материала в примерах №1-3 перейти к самостоятельному решению примеров №5, №6 и №7. Примеры №5, №6 и №7 содержат краткое решение, чтобы читатель мог проверить правильность своего результата.
Пример №1
Найти производную функции y=ecosx.
Решение
Нам нужно найти производную сложной функции y′. Так как y=ecosx, то y′=(ecosx)′. Чтобы найти производную (ecosx)′ используем формулу №6 из таблицы производных. Дабы использовать формулу №6 нужно учесть, что в нашем случае u=cosx. Дальнейшее решение состоит в банальной подстановке в формулу №6 выражения cosx вместо u:
y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′(1.1)
Теперь нужно найти значение выражения (cosx)′. Вновь обращаемся к таблице производных, выбирая из неё формулу №10. Подставляя u=x в формулу №10, имеем: (cosx)′=−sinx⋅x′. Теперь продолжим равенство (1.1), дополнив его найденным результатом:
y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)(1.2)
Так как x′=1, то продолжим равенство (1.2):
y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)=ecosx⋅(−sinx⋅1)=−sinx⋅ecosx(1.3)
Итак, из равенства (1.3) имеем: y′=−sinx⋅ecosx. Естественно, что пояснения и промежуточные равенства обычно пропускают, записывая нахождение производной в одну строку, – как в равенстве (1.3). Итак, производная сложной функции найдена, осталось лишь записать ответ.
Ответ : y′=−sinx⋅ecosx.
Пример №2
Найти производную функции y=9⋅arctg12(4⋅lnx).
Решение
Нам необходимо вычислить производную y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′. Для начала отметим, что константу (т.е. число 9) можно вынести за знак производной:
y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′(2.1)
Теперь обратимся к выражению (arctg12(4⋅lnx))′. Чтобы выбрать нужную формулу из таблицы производных было легче, я представлю рассматриваемое выражение в таком виде: ((arctg(4⋅lnx))12)′. Теперь видно, что необходимо использовать формулу №2, т.е. (uα)′=α⋅uα−1⋅u′. В эту формулу подставим u=arctg(4⋅lnx) и α=12:
Дополняя равенство (2.1) полученным результатом, имеем:
y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′(2.2)
Примечание: показать\скрыть
Теперь нужно найти (arctg(4⋅lnx))′. Используем формулу №19 таблицы производных, подставив в неё u=4⋅lnx:
(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′
Немного упростим полученное выражение, учитывая (4⋅lnx)2=42⋅(lnx)2=16⋅ln2x.
(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′=11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′
Равенство (2.2) теперь станет таким:
y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′(2.3)
Осталось найти (4⋅lnx)′. Вынесем константу (т.е. 4) за знак производной: (4⋅lnx)′=4⋅(lnx)′. Для того, чтобы найти (lnx)′ используем формулу №8, подставив в нее u=x: (lnx)′=1x⋅x′. Так как x′=1, то (lnx)′=1x⋅x′=1x⋅1=1x. Подставив полученный результат в формулу (2.3), получим:
y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅4⋅1x=432⋅arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).
Напомню, что производная сложной функции чаще всего находится в одну строку, – как записано в последнем равенстве. Поэтому при оформлении типовых расчетов или контрольных работ вовсе не обязательно расписывать решение столь же подробно.
Ответ : y′=432⋅arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).
Пример №3
Найти y′ функции y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.
Решение
Для начала немного преобразим функцию y, выразив радикал (корень) в виде степени: y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7=(sin(5⋅9x))37. Теперь приступим к нахождению производной. Так как y=(sin(5⋅9x))37, то:
y′=((sin(5⋅9x))37)′(3.1)
Используем формулу №2 из таблицы производных, подставив в неё u=sin(5⋅9x) и α=37:
((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))37−1(sin(5⋅9x))′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′
Продолжим равенство (3.1), используя полученный результат:
y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′(3.2)
Теперь нужно найти (sin(5⋅9x))′. Используем для этого формулу №9 из таблицы производных, подставив в неё u=5⋅9x:
(sin(5⋅9x))′=cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′
Дополнив равенство (3.2) полученным результатом, имеем:
y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′(3.3)
Осталось найти (5⋅9x)′. Для начала вынесем константу (число 5) за знак производной, т.е. (5⋅9x)′=5⋅(9x)′. Для нахождения производной (9x)′ применим формулу №5 таблицы производных, подставив в неё a=9 и u=x: (9x)′=9x⋅ln9⋅x′. Так как x′=1, то (9x)′=9x⋅ln9⋅x′=9x⋅ln9. Теперь можно продолжить равенство (3.3):
y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅5⋅9x⋅ln9==15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x.
Можно вновь от степеней вернуться к радикалам (т.е. корням), записав (sin(5⋅9x))−47 в виде 1(sin(5⋅9x))47=1sin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7. Тогда производная будет записана в такой форме:
y′=15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.
Ответ : y′=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.
Пример №4
Показать, что формулы №3 и №4 таблицы производных есть частный случай формулы №2 этой таблицы.
Решение
В формуле №2 таблицы производных записана производная функции uα. Подставляя α=−1 в формулу №2, получим:
(u−1)′=−1⋅u−1−1⋅u′=−u−2⋅u′(4.1)
Так как u−1=1u и u−2=1u2, то равенство (4.1) можно переписать так: (1u)′=−1u2⋅u′. Это и есть формула №3 таблицы производных.
Вновь обратимся к формуле №2 таблицы производных. Подставим в неё α=12:
(u12)′=12⋅u12−1⋅u′=12u−12⋅u′(4.2)
Так как u12=u−−√ и u−12=1u12=1u−−√, то равенство (4.2) можно переписать в таком виде:
(u−−√)′=12⋅1u−−√⋅u′=12u−−√⋅u′
Полученное равенство (u−−√)′=12u−−√⋅u′ и есть формула №4 таблицы производных. Как видите, формулы №3 и №4 таблицы производных получаются из формулы №2 подстановкой соответствующего значения α.
Пример №5
Найти y′, если y=arcsin2x.
Решение
Нахождение производной сложной функции в данном примере запишем без подробных пояснений, которые были даны в предыдущих задачах.
Ответ : y′=2xln21−22x−−−−−−√.
Пример №6
Найти y′, если y=7⋅lnsin3x.
Решение
Как и в предыдущем примере, нахождение производной сложной функции укажем без подробностей. Желательно записать производную самостоятельно, лишь сверяясь с указанным ниже решением.
Ответ : y′=21⋅ctgx.
Пример №7
Найти y′, если y=9tg4(log5(2⋅cosx)).
Решение
6 Вопрос. Производная обратной функции примеры.
Производная обратной функции
Формула
Известно свойство степеней, что
Используя производную степенной функции:
Формула производной дроби из двух функций. Доказательство двумя способами. Подробно разобранные примеры дифференцирования частного.
СодержаниеПусть функции и определены в некоторой окрестности точки и имеют в точке производные. И пусть .
Тогда их частное имеет в точке производную, которая определяется по формуле:
(1)
.
Введем обозначения:
;
.
Здесь и являются функциями от переменных и .
Но для простоты записи мы будем опускать обозначения их аргументов.
Далее замечаем, что
;
.
По условию функции и имеют производные в точке ,
которые являются следующими пределами:
;
.
Из существования производных следует, что функции и непрерывны в точке .
Поэтому
;
.
Рассмотрим функцию y
от переменной x
,
которая является дробью из функций и :
.
Рассмотрим приращение этой функции в точке :
.
Умножим на :
.
Отсюда
.
Теперь находим производную:
.
Итак,
.
Формула доказана.
Вместо переменной можно использовать любую другую переменную. Обозначим ее как x
.
Тогда если существуют производные и ,
причем ,
то производная дроби, составленной двух функций, определяется по формуле:
.
Или в более короткой записи
(1)
.
Здесь мы рассмотрим простые примеры вычисления производной дроби, применяя формулу производной частного (1). Заметим, что в более сложных случаях, находить производную дроби проще с помощью логарифмической производной .
Найдите производную дроби
,
где ,
,
,
- постоянные.
Применим правило дифференцирования суммы функций :
.
Производная постоянной
.
Из таблицы производных находим:
.
Тогда
;
.
Заменим на и на :
.
Теперь находим производную дроби по формуле
.
.
Найти производную функции от переменной x
.
Применяем правила дифференцирования , как в предыдущем примере.
;
.
Применяем правило дифференцирования дроби
.
.
Если следовать определению, то производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx :
Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f (x ) = x 2 + (2x + 3) · e x · sin x . Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.
Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.
Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.
Итак, производные элементарных функций:
Название | Функция | Производная |
Константа | f (x ) = C , C ∈ R | 0 (да-да, ноль!) |
Степень с рациональным показателем | f (x ) = x n | n · x n − 1 |
Синус | f (x ) = sin x | cos x |
Косинус | f (x ) = cos x | − sin x (минус синус) |
Тангенс | f (x ) = tg x | 1/cos 2 x |
Котангенс | f (x ) = ctg x | − 1/sin 2 x |
Натуральный логарифм | f (x ) = ln x | 1/x |
Произвольный логарифм | f (x ) = log a x | 1/(x · ln a ) |
Показательная функция | f (x ) = e x | e x (ничего не изменилось) |
Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:
(C · f )’ = C · f ’.
В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:
(2x 3)’ = 2 · (x 3)’ = 2 · 3x 2 = 6x 2 .
Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.
Пусть даны функции f (x ) и g (x ), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:
Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, (f + g + h )’ = f ’ + g ’ + h ’.
Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g , и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.
f (x ) = x 2 + sin x; g (x ) = x 4 + 2x 2 − 3.
Функция f (x ) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:
f ’(x ) = (x 2 + sin x )’ = (x 2)’ + (sin x )’ = 2x + cos x;
Аналогично рассуждаем для функции g (x ). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):
g ’(x ) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · (x 2 + 1).
Ответ:
f
’(x
) = 2x
+ cos x;
g
’(x
) = 4x
· (x
2 + 1).
Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения strike ">равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:
(f · g ) ’ = f ’ · g + f · g ’
Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.
Задача. Найти производные функций: f (x ) = x 3 · cos x; g (x ) = (x 2 + 7x − 7) · e x .
Функция f (x ) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:
f ’(x ) = (x 3 · cos x )’ = (x 3)’ · cos x + x 3 · (cos x )’ = 3x 2 · cos x + x 3 · (− sin x ) = x 2 · (3cos x − x · sin x )
У функции g (x ) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g (x ) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:
g ’(x ) = ((x 2 + 7x − 7) · e x )’ = (x 2 + 7x − 7)’ · e x + (x 2 + 7x − 7) · (e x )’ = (2x + 7) · e x + (x 2 + 7x − 7) · e x = e x · (2x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x ) · e x = x (x + 9) · e x .
Ответ:
f
’(x
) = x
2 · (3cos x
− x
· sin x
);
g
’(x
) = x
(x
+ 9) · e
x
.
Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.
Если есть две функции f (x ) и g (x ), причем g (x ) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h (x ) = f (x )/g (x ). Для такой функции тоже можно найти производную:
Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g 2 ? А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.
Задача. Найти производные функций:
В числителе и знаменателе каждой дроби стоят элементарные функции, поэтому все, что нам нужно — это формула производной частного:
По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:
Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию f (x ) = sin x и заменить переменную x , скажем, на x 2 + ln x . Получится f (x ) = sin (x 2 + ln x ) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.
Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции:
f ’(x ) = f ’(t ) · t ’, если x заменяется на t (x ).
Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.
Задача. Найти производные функций: f (x ) = e 2x + 3 ; g (x ) = sin (x 2 + ln x )
Заметим, что если в функции f (x ) вместо выражения 2x + 3 будет просто x , то получится элементарная функция f (x ) = e x . Поэтому делаем замену: пусть 2x + 3 = t , f (x ) = f (t ) = e t . Ищем производную сложной функции по формуле:
f ’(x ) = f ’(t ) · t ’ = (e t )’ · t ’ = e t · t ’
А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: t = 2x + 3. Получим:
f ’(x ) = e t · t ’ = e 2x + 3 · (2x + 3)’ = e 2x + 3 · 2 = 2 · e 2x + 3
Теперь разберемся с функцией g (x ). Очевидно, надо заменить x 2 + ln x = t . Имеем:
g ’(x ) = g ’(t ) · t ’ = (sin t )’ · t ’ = cos t · t ’
Обратная замена: t = x 2 + ln x . Тогда:
g ’(x ) = cos (x 2 + ln x ) · (x 2 + ln x )’ = cos (x 2 + ln x ) · (2x + 1/x ).
Вот и все! Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы.
Ответ:
f
’(x
) = 2 · e
2x
+ 3 ;
g
’(x
) = (2x
+ 1/x
) · cos (x
2 + ln x
).
Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.
Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:
(x n )’ = n · x n − 1
Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x 0,5 . А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.
Задача. Найти производную функции:
Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:
f (x ) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Теперь делаем замену: пусть x 2 + 8x − 7 = t . Находим производную по формуле:
f ’(x ) = f ’(t ) · t ’ = (t 0,5)’ · t ’ = 0,5 · t −0,5 · t ’.
Делаем обратную замену: t = x 2 + 8x − 7. Имеем:
f ’(x ) = 0,5 · (x 2 + 8x − 7) −0,5 · (x 2 + 8x − 7)’ = 0,5 · (2x + 8) · (x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Наконец, возвращаемся к корням:
При нахождении производной суммы дробей со степенями и корнями во избежание распространённых ошибок следует обращать внимание на следующие моменты:
Пример 1. Найти производную функции
.
.
Здесь двойка перед иксом - постоянный множитель, поэтому его просто вынесли за знак производной.
Собираем всё вместе:
.
Если требуется в окончательном решении получить выражение с корнями, то преобразуем степени в корни и получаем искомую производную:
.
Пример 2. Найти производную функции
.
Решение. Находим производную первого слагаемого:
.
Здесь первая двойка в числителе промежуточного выражения была константой, её производная равна нулю.
Находим производную второго слагаемого:
Находим производную третьего слагаемого:
Здесь применяли знания из школьного курса о действиях с дробями , их преобразовании и сокращении.
Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знаки производных первого и третьего слагаемых противоположны знакам слагаемых в исходном выражении:
.
Пример 3. Найти производную функции
.
Решение. Находим производную первого слагаемого:
Находим производную второго слагаемого:
Производная третьего слагаемого - константы 1/2 - равна нулю (бывает, что студенты упорно пытаются найти отличную от нуля производную константы).
Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знак производной второго слагаемого противоположен знаку слагаемого в исходном выражении:
Пример 4. Найти производную функции
.
Решение. Находим производную первого слагаемого:
Находим производную второго слагаемого:
Находим производную третьего слагаемого:
Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знаки производных второго и третьего слагаемых - минусы:
.
Пример 5. Найти производную функции
.
Решение. Находим производную первого слагаемого.